引言

2011年青岛中考数学试卷中，有一道题目因其难度和深度而备受关注。本文将深入解析这道难题，探讨其解题技巧，并给出相应的备考策略。

难题回顾

题目：某市计划修建一条东西走向的城市快速通道，起点为A，终点为B。已知A点坐标为(0,0)，B点坐标为(10,6)。现计划在快速通道上设置若干个监控点，要求每个监控点与A、B两点的距离之和等于8。问最多可以设置多少个监控点？

解题思路

这道题目属于几何问题，需要运用坐标几何和数学建模的知识。解题的关键在于建立合适的数学模型，并运用二次函数的性质来解决问题。

解题步骤

  1. 建立坐标系：以A点为原点，建立直角坐标系。
  2. 设定变量：设监控点C的坐标为(x, y)。
  3. 构建方程：根据题意，AC + BC = 8，即\(\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x-10)^2 + y^2} = 8\)。
  4. 化简方程：通过平方和移项，将方程化简为一个关于x的二次方程。
  5. 求解二次方程：解出x的值，再代入方程求解y的值。
  6. 验证解：检查解是否符合题意，即监控点C是否在A、B两点之间。

解题示例

假设我们解出的二次方程为\(x^2 - 10x + y^2 - 6y = 0\)，接下来我们可以通过以下步骤求解：

import sympy as sp

# 定义变量
x, y = sp.symbols('x y')

# 定义方程
equation = sp.Eq(x**2 - 10*x + y**2 - 6*y, 0)

# 求解方程
solutions = sp.solve(equation, (x, y))

# 打印解
for sol in solutions:
    print(f"监控点C的坐标为：{sol}")

备考策略

  1. 强化基础知识：确保对坐标几何、二次函数等基础知识有扎实的掌握。
  2. 练习建模能力：通过解决实际问题，提高将实际问题转化为数学模型的能力。
  3. 培养逻辑思维：解题过程中，注重逻辑推理和严谨的证明过程。
  4. 模拟训练：通过模拟历年中考题，熟悉考试题型和难度，提高解题速度和准确率。

总结

2011年青岛中考数学难题的解析不仅展示了数学的深度和广度，也为我们提供了宝贵的解题经验和备考策略。通过深入分析这道题目，我们可以更好地理解数学问题的解决方法，为今后的学习和考试打下坚实的基础。