引言
2012年南昌一模数学试卷作为历年高考模拟试题中的重要一份，其难度和深度往往能反映出高考数学的命题趋势。本文将针对2012年南昌一模数学试卷中的难题进行详细解析，并给出相应的备考策略，帮助考生在备考过程中有的放矢。
难题解析
一、解析几何问题
题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为\(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=60^\circ\)，求椭圆的离心率。
解题思路：
- 利用椭圆的定义，设\(PF_1=x\)，\(PF_2=y\)，则有\(x+y=2a\)。
- 由余弦定理，得\(4c^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^\circ\)。
- 将\(x+y=2a\)代入\(4c^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^\circ\)，化简得\(4c^2=(2a)^2-3xy\)。
- 利用椭圆的离心率公式\(e=\frac{c}{a}\)，代入\(4c^2=(2a)^2-3xy\)，化简得\(e^2=\frac{4}{5}\)。
答案：椭圆的离心率为\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。
二、数列问题
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
解题思路：
- 利用数学归纳法证明数列\(\{a_n\}\)单调递增。
- 利用极限的性质，求出\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
答案：\(\lim_{n\to\infty}a_n=2\)。
三、立体几何问题
题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，\(E\)为\(A_1C_1\)的中点，\(F\)为\(BC\)的中点，求\(\angle AEF\)的大小。
解题思路：
- 利用向量法求出\(\overrightarrow{AE}\)、\(\overrightarrow{AF}\)。
- 利用向量的点积公式求出\(\cos\angle AEF\)。
- 求出\(\angle AEF\)的大小。
答案：\(\angle AEF=60^\circ\)。
备考策略
一、掌握基础知识
- 熟练掌握高中数学基础知识，包括代数、几何、三角、概率等。
- 理解并掌握各个知识点的应用方法。
二、提高解题能力
- 做题时，注意审题，抓住题目的关键信息。
- 分析题目，找出解题思路。
- 逐步进行计算，注意细节。
三、总结归纳
- 做题后，总结归纳解题方法，提高解题效率。
- 定期回顾错题，分析错误原因，避免重复犯错。
通过以上分析，相信考生能够更好地备战高考数学。