揭秘2012年广东数学高考题：难点解析与备考策略

引言

2012年广东数学高考题以其难度和深度著称，对考生的逻辑思维和计算能力提出了很高的要求。本文将对2012年广东数学高考题中的难点进行解析，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、2012年广东数学高考题概述

2012年广东数学高考题分为理科和文科两部分，涵盖了代数、几何、三角、概率统计等多个知识点。试题难度适中，但部分题目对考生的思维能力要求较高。

二、难点解析

1. 代数部分

难点题目示例：

（1）函数与导数

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(f'(x)\)。

解析：

首先，对\(f(x)\)进行求导，得到：

f'(x) = 3x^2 - 6x + 4

其次，对导数进行因式分解，得到：

f'(x) = 3(x-1)(x-2)

最后，根据因式分解的结果，可得\(f'(x)\)的零点为\(x=1\)和\(x=2\)。

备考策略：

熟练掌握导数的计算方法，包括求导公式和导数的运算法则；
加强对函数图像和导数关系的理解，提高对函数性质的分析能力。

（2）复数

题目：已知复数\(z\)满足\(|z+1|=2\)，\(|z-1|=3\)，求\(z\)。

解析：

设\(z=x+yi\)（其中\(x,y\)为实数），根据复数的模的定义，可得以下方程组：

(x+1)^2+y^2=4
(x-1)^2+y^2=9

将方程组化简，可得：

x^2+y^2=3
x^2+y^2=2

显然，此方程组无解，因此原题目无解。

备考策略：

熟练掌握复数的概念和性质，包括复数的代数形式、模和辐角等；
提高对复数运算和解题技巧的掌握，尤其是在求解复数方程和不等式方面。

2. 几何部分

难点题目示例：

（1）解析几何

题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的左焦点为\(F_1\)，右焦点为\(F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=60^\circ\)，求\(|PF_1|\)。

解析：

根据椭圆的定义，可得\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，其中\(a\)为椭圆的长半轴。又因为\(\angle F_1PF_2=60^\circ\)，所以\(\triangle F_1PF_2\)为等边三角形。因此，\(|PF_1|=|PF_2|=a\)。

由椭圆方程可得\(a=2\)，所以\(|PF_1|=|PF_2|=2\)。

备考策略：

熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的性质，包括定义、方程、图像等；
提高对解析几何问题的解题技巧，尤其是在求解与椭圆、双曲线和抛物线相关的问题。

（2）立体几何

题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，点\(E\)、\(F\)分别为\(A_1D_1\)和\(B_1C_1\)的中点，求\(EF\)的长度。

解析：

连接\(AE\)、\(BF\)，由中位线定理可得\(AE=EF=BF\)。又因为\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)为正方体，所以\(AE=BF=\frac{\sqrt{2}}{2}AB\)。

由正方体棱长为\(a\)，可得\(AB=a\)，所以\(AE=BF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。

备考策略：

熟练掌握立体几何的概念和性质，包括空间直角坐标系、向量等；
提高对立体几何问题的解题技巧，尤其是在求解与正方体、长方体和球体相关的问题。

3. 三角部分

难点题目示例：

（1）三角函数

题目：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，求\(\sin\alpha\cos\alpha\)。

解析：

由\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，可得：

(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2
\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=2
1+2\sin\alpha\cos\alpha=2
2\sin\alpha\cos\alpha=1
\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}

备考策略：

熟练掌握三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切、余切等；
提高对三角函数运算和解题技巧的掌握，尤其是在求解与三角函数相关的问题。

（2）三角恒等变换

题目：已知\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，求\(\sin 2\alpha+\cos 2\alpha\)。

解析：

由\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，可得：

\sin 2\alpha+\cos 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}

备考策略：

熟练掌握三角恒等变换的基本公式和技巧；
提高对三角恒等变换的应用能力，尤其是在求解与三角函数相关的问题。

4. 概率统计部分

难点题目示例：

（1）概率

题目：袋中有5个红球、4个蓝球和3个白球，从中随机取出3个球，求取出的3个球中至少有1个红球的概率。

解析：

设事件\(A\)为“取出的3个球中至少有1个红球”，则事件\(\overline{A}\)为“取出的3个球中没有红球”。根据概率的互补法则，可得：

P(A) = 1 - P(\overline{A})

又因为\(\overline{A}\)为从4个蓝球和3个白球中取出3个球的概率，所以：

P(\overline{A}) = \frac{C_7^3}{C_{12}^3} = \frac{7}{33}

因此，\(P(A) = 1 - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}\)。

备考策略：

熟练掌握概率的基本概念和性质，包括概率的加法、乘法和条件概率等；
提高对概率运算和解题技巧的掌握，尤其是在求解与概率相关的问题。

（2）统计

题目：某班级有40名学生，其中男生20名，女生20名。从该班级中随机抽取5名学生，求抽到的5名学生中至少有3名男生的概率。

解析：

设事件\(B\)为“抽到的5名学生中至少有3名男生”，则事件\(\overline{B}\)为“抽到的5名学生中至多有2名男生”。根据概率的互补法则，可得：

P(B) = 1 - P(\overline{B})

又因为\(\overline{B}\)为从20名男生和20名女生中抽取3名学生的概率，所以：

P(\overline{B}) = \frac{C_{20}^3 + C_{20}^2 \cdot C_{20}^2}{C_{40}^5}

经过计算，可得\(P(B) \approx 0.682\)。

备考策略：

熟练掌握统计的基本概念和性质，包括平均数、方差、概率分布等；
提高对统计运算和解题技巧的掌握，尤其是在求解与统计相关的问题。

三、备考策略

为了应对2012年广东数学高考题的难点，考生可以采取以下备考策略：

基础知识要扎实：对代数、几何、三角、概率统计等基础知识进行深入学习和巩固，确保在解题过程中能够迅速运用。
解题技巧要熟练：针对不同类型的题目，掌握相应的解题技巧和方法，提高解题效率。
练习题要适量：合理安排练习题的数量和难度，确保在有限的时间内能够全面提高自己的数学水平。
模拟考试要真实：通过参加模拟考试，熟悉考试环境和流程，提高自己的应试能力。
心理素质要过硬：保持良好的心态，克服紧张和焦虑情绪，以最佳状态应对高考。