引言
2012年辽宁中考数学试题中，有一部分题目因其难度和深度而备受关注。这些题目不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。本文将深入剖析这些难题，帮助读者了解其解题思路，提升解题能力。
一、难题回顾
2012年辽宁中考数学试题中，以下题目因其难度和挑战性而被广泛讨论：
- 问题一：给定一个函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 1\)。
- 问题二：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_5=50\)，\(S_8=100\)，求\(a_6\)的值。
- 问题三：在平面直角坐标系中，点\(A(2,3)\)关于直线\(l\)的对称点为\(B\)，若直线\(l\)的方程为\(2x+y-7=0\)，求点\(B\)的坐标。
二、解题思路分析
问题一
解题思路：
- 利用导数研究函数的单调性。
- 分析函数在区间\((-\infty, +\infty)\)上的最小值。
详细解答：
- 求导得\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)。
- 当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
- 函数在\(x=1\)处取得最小值\(f(1)=1\)，因此对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 1\)。
问题二
解题思路：
- 利用等差数列的通项公式和前\(n\)项和公式求解。
详细解答：
- 设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(a_1=a_6-d\)。
- 根据等差数列的前\(n\)项和公式，\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\)。
- 代入\(S_5=50\)和\(S_8=100\)，解得\(a_1=3\)，\(d=2\)。
- 因此，\(a_6=a_1+5d=13\)。
问题三
解题思路：
- 利用点到直线的距离公式求出点\(A\)到直线\(l\)的距离。
- 利用对称性求出点\(B\)的坐标。
详细解答：
- 点\(A\)到直线\(l\)的距离\(d=\frac{|2\times 2+3-7|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\)。
- 设点\(B\)的坐标为\((x_B, y_B)\)，则\(\frac{x_B-2}{2}=\frac{y_B-3}{1}=\frac{3}{\sqrt{5}}\)。
- 解得\(x_B=\frac{8}{\sqrt{5}}+2\)，\(y_B=\frac{6}{\sqrt{5}}+3\)。
- 因此，点\(B\)的坐标为\(\left(\frac{8}{\sqrt{5}}+2, \frac{6}{\sqrt{5}}+3\right)\)。
三、总结
通过对2012年辽宁中考数学难题的解析，我们可以看到这些题目不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。在备考过程中，我们要注重基础知识的积累，同时也要培养自己的思维能力和解题技巧。只有这样，我们才能在未来的考试中取得优异的成绩。