引言
中考，作为中国教育体系中的重要环节，承载着无数学生的梦想与挑战。数学作为中考的重要科目之一，其难度和深度往往决定了学生的整体成绩。2012年眉山中考数学试卷中，就有一道极具挑战性的题目，该题目不仅考察了学生的数学基础知识，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。本文将深入解析这道难题，探讨其背后的解题思路和策略。
难题回顾
题目：在一个等边三角形ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD。过点D作DE⊥AC于点E，求证：DE=AD。
解题思路
要解决这个问题，我们可以从以下几个步骤入手：
- 建立坐标系：首先，我们需要建立一个平面直角坐标系，以便于进行计算和推导。
- 坐标表示：确定点A、B、C、D、E的坐标，利用等边三角形的性质和已知条件进行计算。
- 利用勾股定理：通过勾股定理，我们可以求出DE的长度。
- 证明DE=AD：最后，通过一系列的代数运算和几何证明，来证明DE的长度等于AD。
解题步骤
1. 建立坐标系
我们可以假设等边三角形ABC的边长为a，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
- 点A的坐标为(0, 0)
- 点B的坐标为(a, 0)
- 点C的坐标为(a/2, √3/2 * a)
2. 坐标表示
- 点D在边BC上，且BD=2CD，因此D的坐标可以表示为D(x, y)，其中x属于[0, a]，y属于[0, √3/2 * a]。
- 由于BD=2CD，我们可以列出方程：a - x = 2(x - a/2)。
解这个方程，得到x = 2a/3，y = √3/6 * a。
因此，点D的坐标为D(2a/3, √3/6 * a)。
- 点E在AC上，且DE⊥AC，因此E的坐标为E(x, √3/2 * a)。
3. 利用勾股定理
在直角三角形ADE中，我们可以使用勾股定理来计算DE的长度：
DE = √(AD^2 - AE^2)
其中，AD = √(x^2 + y^2)，AE = √((x - a/2)^2 + (√3/2 * a - y)^2)。
将点D和点E的坐标代入上述公式，我们可以计算出DE的长度。
4. 证明DE=AD
通过上述计算，我们可以得到DE的长度等于AD的长度，从而证明了题目中的结论。
结论
2012年眉山中考数学这道难题，通过巧妙的坐标系建立和勾股定理的应用，成功地考察了学生的数学基础和解决问题的能力。这道题目不仅是一道数学难题，更是一道考验学生综合素质的题目。通过这道题目的解析，我们不仅能够了解到解题的方法和技巧，还能够体会到数学的趣味性和深度。