一、考试背景与题目概述
2012年全国一卷数学理科试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，共25题。试题内容涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、三角、数列、概率统计等。本篇文章将针对部分典型题目进行详细解析，并提供相应的解题技巧。
二、选择题解析与解题技巧
1. 选择题特点
选择题通常以基础知识和基本技能为主，题目形式多样，难度适中。解题时要注意以下几点：
- 理解题意，准确把握题目要求；
- 运用基础知识，排除错误选项；
- 考虑特殊情况，避免漏解。
2. 典型题目解析
例1：若函数\(f(x)=x^2+bx+c\)的图象与x轴有两个不同的交点，则下列结论正确的是：
A. \(b^2-4c>0\)
B. \(b^2-4c<0\)
C. \(b^2-4c=0\)
D. 无法确定
解析：由题意知，函数\(f(x)=x^2+bx+c\)的图象与x轴有两个不同的交点，即存在两个实数\(x_1\)和\(x_2\)，使得\(f(x_1)=0\)和\(f(x_2)=0\)。根据二次方程的判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，当\(\Delta>0\)时，方程有两个不同的实数根。因此，选项A正确。
解题技巧：对于选择题，首先要明确题意，然后运用基础知识进行排除。本题中，只需运用二次方程的判别式即可得出答案。
三、填空题解析与解题技巧
1. 填空题特点
填空题通常考察学生对知识的掌握程度和运用能力，题目难度适中。解题时要注意以下几点：
- 熟练掌握基本概念和公式；
- 运用数学思想方法，灵活解题；
- 注意计算细节，避免出错。
2. 典型题目解析
例2：已知等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，且\(a_1+a_5=a_2+a_4\)，则该数列的公差\(d\)等于：
解析：由等差数列的性质可知，\(a_5=a_1+4d\)，\(a_4=a_1+3d\)，\(a_2=a_1+d\)。根据题意，\(a_1+a_5=a_2+a_4\)，代入上述表达式得：
\[a_1+(a_1+4d)=(a_1+d)+(a_1+3d)\]
化简得：
\[2a_1+4d=2a_1+4d\]
由此可知，等式恒成立，所以该数列的公差\(d\)可以是任意实数。
解题技巧：填空题解题时，要熟练掌握基本概念和公式，同时运用数学思想方法，灵活解题。本题中，只需代入等差数列的通项公式，即可得出答案。
四、解答题解析与解题技巧
1. 解答题特点
解答题通常考察学生的逻辑思维能力和运算能力，题目难度较高。解题时要注意以下几点：
- 明确解题思路，合理分解问题；
- 运用数学工具，严谨推理；
- 注意计算细节，避免出错。
2. 典型题目解析
例3：已知函数\(f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1\)，求证：\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上单调递增。
解析：要证明\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上单调递增，只需证明\(f'(x)>0\)对任意\(x\in[-1,2]\)成立。首先求导得：
\[f'(x)=x+1\]
当\(x\in[-1,2]\)时，\(f'(x)=x+1>0\)，因此\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上单调递增。
解题技巧：解答题解题时，要明确解题思路，合理分解问题。本题中，通过求导证明函数的单调性，即可得出结论。
五、总结
本文针对2012年全国一卷数学理科真题的部分典型题目进行了详细解析，并提供了相应的解题技巧。希望对广大考生在备考过程中有所帮助。在解题过程中，要注重基础知识的学习和运用，培养良好的数学思维和运算能力。