一、前言
2012年四川卷文科数学试卷作为高考数学的重要参考，其题型、难度和考察知识点都具有代表性。本文将针对2012年四川卷文科数学的难题进行详细解析，并给出相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考数学的挑战。
二、难题解析
1. 难题一：圆锥曲线与导数
题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右顶点分别为\(A(-a, 0)\)，\(B(a, 0)\)，点\(P(x, y)\)是椭圆上任意一点，过\(A\)，\(P\)，\(B\)三点的直线\(l\)与椭圆相切于点\(P\)。
（1）求直线\(l\)的斜率\(k\)关于\(x\)的函数\(f(x)\)；
（2）若\(\frac{a}{x} + \frac{x}{a} \leq 2\sqrt{2}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围。
解析：
（1）由题意知，直线\(l\)与椭圆相切，故直线\(l\)的斜率\(k\)与椭圆的斜率相等。设点\(P\)的坐标为\((x_0, y_0)\)，则有：
\[ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \]
\[ \frac{y_0}{x_0 - a} = -\frac{b^2}{a^2} \]
解得：
\[ y_0 = -\frac{b^2}{a^2}(x_0 - a) \]
将\(y_0\)代入椭圆方程，得：
\[ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{(-\frac{b^2}{a^2}(x_0 - a))^2}{b^2} = 1 \]
化简得：
\[ x_0^2 - 2ax_0 + a^2 - b^2 = 0 \]
解得：
\[ x_0 = a - \sqrt{a^2 - b^2} \]
代入\(y_0\)的表达式，得：
\[ y_0 = \frac{b^2}{a}(1 - \sqrt{a^2 - b^2}) \]
因此，直线\(l\)的斜率\(k\)为：
\[ k = \frac{y_0}{x_0 - a} = -\frac{b^2}{a^2} \]
（2）由题意知，\(\frac{a}{x} + \frac{x}{a} \leq 2\sqrt{2}\)，即：
\[ \frac{a^2 + x^2}{ax} \leq 2\sqrt{2} \]
\[ a^2 + x^2 \leq 2\sqrt{2}ax \]
\[ x^2 - 2\sqrt{2}ax + a^2 \leq 0 \]
\[ (x - a\sqrt{2})^2 \leq 0 \]
因此，\(x = a\sqrt{2}\)。代入\(k\)的表达式，得：
\[ k = -\frac{b^2}{a^2} = -\frac{1}{2} \]
综上，直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围为\([-\frac{1}{2}, +\infty)\)。
2. 难题二：函数与不等式
题目描述：设函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f(x)\)的极值点和单调区间。
解析：
求\(f(x)\)的导数：
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)单调递增。
因此，\(f(x)\)的极值点为\(x = -1\)和\(x = 1\)，极值分别为\(f(-1) = 2\)和\(f(1) = -2\)。
三、备考策略
1. 理解基础概念
数学是一门逻辑性很强的学科，要学好数学，首先要理解基础概念。对于2012年四川卷文科数学的难题，要求考生对圆锥曲线、导数、函数与不等式等基础知识有深入的理解。
2. 注重解题技巧
解题技巧是提高解题速度和准确率的关键。对于圆锥曲线与导数这类难题，要掌握以下技巧：
（1）熟练运用圆锥曲线的几何性质和代数方程；
（2）灵活运用导数的定义和求导法则；
（3）掌握函数与不等式的性质和解法。
3. 加强练习
做题是提高数学能力的重要途径。考生要针对2012年四川卷文科数学的难题进行针对性练习，总结解题经验，提高解题能力。
4. 关注时事热点
关注时事热点有助于拓展思维，提高解题能力。考生可以关注一些数学领域的最新研究成果和热点问题，从而提高自己的数学素养。
总之，2012年四川卷文科数学的难题解析与备考策略需要考生在理解基础知识、掌握解题技巧、加强练习和关注时事热点等方面下功夫。相信通过努力，考生一定能够取得优异的成绩。