引言
2012年义乌中考数学试卷中，一道难题引起了广泛关注。这道题目不仅考查了学生的数学知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。本文将深入解析这道难题，帮助考生掌握解题技巧，提升数学成绩。
难题回顾
题目：已知函数\(f(x)=x^2-4x+4\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq0\)。
解题思路
- 函数解析式分析：首先观察函数\(f(x)=x^2-4x+4\)，可以发现它是一个二次函数，开口向上，顶点坐标为\((2,0)\)。
- 顶点坐标的运用：由于函数开口向上，顶点为函数的最小值点，因此只需证明当\(x=2\)时，\(f(x)\)的值为0，即可得出对于任意实数\(x\)，\(f(x)\geq0\)。
- 代数证明：将\(x=2\)代入\(f(x)\)，可得\(f(2)=2^2-4\times2+4=0\)。
解题步骤
- 解析式变形：将\(f(x)\)变形为\(f(x)=(x-2)^2\)。
- 证明不等式：由于平方数恒大于等于0，即\((x-2)^2\geq0\)，所以\(f(x)\geq0\)。
- 结论：综上所述，对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq0\)。
解题技巧总结
- 函数图像分析：熟练掌握二次函数的性质，能够快速判断函数的最值。
- 代数变形：灵活运用代数变形，将问题转化为更容易解决的形式。
- 逻辑推理：注重逻辑推理，确保证明过程的严谨性。
实例分析
例题：已知函数\(g(x)=x^2+2x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(g(x)\geq0\)。
解题步骤：
- 解析式变形：将\(g(x)\)变形为\(g(x)=(x+1)^2\)。
- 证明不等式：由于平方数恒大于等于0，即\((x+1)^2\geq0\)，所以\(g(x)\geq0\)。
- 结论：综上所述，对于任意实数\(x\)，都有\(g(x)\geq0\)。
总结
通过以上分析和实例，我们可以看出，掌握解题技巧对于解决数学难题至关重要。在今后的学习过程中，我们要注重基础知识的学习，提高解题能力，以便在考试中取得优异成绩。