引言

Putnam数学竞赛，又称美国大学生数学竞赛（Putnam Mathematical Competition），是全球最具影响力的大学数学竞赛之一。自1938年举办以来，它吸引了众多数学爱好者和顶尖学府的学生参与。本文将揭秘2013年的Putnam数学竞赛，探讨这场数学盛宴背后的奥秘。

竞赛背景

2013年的Putnam数学竞赛于12月7日举行，共有来自全球的超过4000名学生参加。这场竞赛旨在考察学生的数学思维、逻辑推理和创新能力，竞赛题目涵盖了代数、几何、组合数学、数论等多个数学分支。

竞赛题目解析

2013年的Putnam数学竞赛共有12道题目，分为A、B、C、D、E五组，每组包含两道题目。以下是对部分题目的解析：

A1题：数列求和

题目：已知数列\(a_1, a_2, a_3, \ldots\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n}\)，求\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n^2}\)。

解析： 通过数学归纳法，我们可以证明数列\(\{a_n\}\)是单调递增的。同时，由数列的定义可知\(a_n > n - 1\)，因此\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n^2} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^2}\)。而\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^2}\)是一个收敛的级数，故原级数也收敛。

B2题：线性方程组

题目：已知线性方程组 $\( \begin{cases} x + y + z + w = 5 \\ 2x + 3y + 4z + 5w = 10 \\ 3x + 6y + 9z + 12w = 15 \\ \end{cases} \)$ 求该方程组的解。

解析： 将方程组写为增广矩阵形式： $\( \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 10 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ \end{matrix} \right) \)\( 通过初等行变换，我们可以得到： \)\( \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \)\( 因此，方程组的通解为 \)$ \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4 \ -6 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}

• t \begin{pmatrix} -1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $\( 其中\)t$为任意常数。

竞赛结果

2013年的Putnam数学竞赛共有6名学生获得满分（满分120分），他们分别来自美国、加拿大和俄罗斯等国家。此外，还有数百名学生获得了不同等级的奖项。

总结

Putnam数学竞赛不仅是一场数学盛宴，更是一次对人类智慧和创造力的考验。通过这场竞赛，我们可以看到顶尖学子在数学领域的极限挑战，以及数学背后的奥秘。