揭秘2013年数学高考：经典难题解析与备考策略

引言

2013年的数学高考作为历年高考的重要组成部分，其试题的难度和深度受到了广泛关注。本文将深入解析2013年数学高考中的经典难题，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考数学。

2013年的数学高考分为文科数学和理科数学两个版本，试题内容涵盖了高中数学的各个领域，包括代数、几何、概率统计等。整体难度适中，但部分题目具有一定的挑战性。

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$P$为椭圆上的一点，且$\angle F_1PF_2=120^\circ$，求$PF_1$和$PF_2$的长度的平方和。

解析：

设$PF_1=x$，$PF_2=y$，由椭圆的定义可得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

由余弦定理可得： $$x^2+y^2-2xy\cos120^\circ=a^2-b^2$$

化简得： $$x^2+y^2+xy=a^2-b^2$$

又因为$PF_1+PF_2=2a$，所以： $$x+y=2a$$

将$x+y=2a$代入$x^2+y^2+xy=a^2-b^2$中，得： $$x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy=a^2-b^2$$

化简得： $$xy=\frac{a^2-b^2}{2}$$

由韦达定理可得： $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-b^2$$

因此，$PF_1$和$PF_2$的长度的平方和为$a^2-b^2$。

题目：已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=2^n-1$，求$\{a_n\}$的通项公式。

解析：

由题意得： $$a_1=S_1=2^1-1=1$$

对于$n\geq2$，有： $$a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}$$

因此，$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^{n-1}$。

对于数学高考，基础知识的掌握至关重要。考生应重点复习高中数学的各个领域，如代数、几何、概率统计等，确保对基本概念、公式、定理等有深入的理解。

通过大量的做题练习，考生可以熟悉高考数学的题型和难度，提高解题速度和准确率。同时，要注意总结解题方法，提高解题技巧。

关注高考数学的热点问题，如解析几何、数列、函数等，深入研究这些领域的经典题型和解题方法，有助于提高解题能力。

高考是一场心理战，考生要调整好自己的心态，保持自信，以最佳状态迎接高考。

通过对2013年数学高考经典难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够更好地应对高考数学。在备考过程中，要注重基础知识的学习，多做练习，关注热点问题，调整好心态，相信每一位考生都能取得优异的成绩。