引言
2014年德阳二诊数学试卷中的一道难题引起了广泛关注，这道题目不仅考察了学生的数学基础，还涉及了创新思维和解决问题的能力。本文将深入解析这道题目，帮助考生了解高考数学的命题趋势，为备考提供指导。
题目回顾
题目如下：
设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\)，求证：对于任意实数 \(x\)，都有 \(f(x) \geq 0\)。
解题思路
求导分析：首先对函数 \(f(x)\) 求导，得到 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。通过求导分析函数的单调性。
求极值：解方程 \(f'(x) = 0\)，得到 \(x = 1\) 或 \(x = \frac{2}{3}\)。这两个点可能是函数的极值点。
分析极值点：分别计算 \(f(1)\) 和 \(f(\frac{2}{3})\) 的值，判断这两个点是否为极小值点。
分析函数在无穷远处的值：观察函数在 \(x \rightarrow +\infty\) 和 \(x \rightarrow -\infty\) 时的极限，判断函数的正负。
综合判断：结合以上分析，得出结论。
解题步骤
步骤一：求导分析
对 \(f(x)\) 求导，得到 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
步骤二：求极值
解方程 \(f'(x) = 0\)，得到 \(x = 1\) 或 \(x = \frac{2}{3}\)。
步骤三：分析极值点
计算 \(f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 2 \times 1 + 1 = 1\)，\(f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \times (\frac{2}{3})^2 + 2 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{27}\)。
步骤四：分析函数在无穷远处的值
当 \(x \rightarrow +\infty\) 时，\(f(x) \rightarrow +\infty\)；当 \(x \rightarrow -\infty\) 时，\(f(x) \rightarrow -\infty\)。
步骤五：综合判断
由步骤三和步骤四可知，\(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处取得极小值，且 \(f(1) = 1 > 0\)。因此，对于任意实数 \(x\)，都有 \(f(x) \geq 0\)。
总结
2014德阳二诊数学难题的解析过程体现了高考数学的命题趋势，即注重基础知识的掌握和创新思维能力的培养。考生在备考过程中，应注重基础知识的积累，同时培养自己的创新思维和解决问题的能力。