一、背景介绍
2014年沈阳二模数学试卷作为中国高考前的重要模拟考试之一，其难度和题型一直备受考生和教师关注。本文将深入解析其中一些难题，并提供相应的学习策略。
二、难题解析
1. 难题一：解析几何问题
题目描述：在平面直角坐标系中，已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的左、右焦点分别为\(F_1(-c,0)\)和\(F_2(c,0)\)，点P在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，求椭圆的离心率。
解析：
- 首先利用椭圆的定义和焦点性质，结合点P在椭圆上这一条件，建立方程组。
- 通过求解方程组，找到椭圆的长半轴\(a\)和短半轴\(b\)，进而计算离心率\(e=\frac{c}{a}\)。
- 代码示例（Python）：
from sympy import symbols, Eq, solve
a, b, c = symbols('a b c')
x, y = symbols('x y')
# 建立椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2/a**2 + y**2/b**2, 1)
# 焦点坐标
F1 = (-c, 0)
F2 = (c, 0)
# 利用焦点性质和角度关系建立方程组
eq1 = Eq((x - F1[0])**2 + y**2, c**2)
eq2 = Eq((x - F2[0])**2 + y**2, c**2)
# 求解方程组
solution = solve([ellipse_eq, eq1, eq2], (x, y, a, b))
# 计算离心率
e = c/solution[2]
print(f'椭圆的离心率：{e.evalf()}')
2. 难题二：概率统计问题
题目描述：甲、乙两同学在一次考试中随机抽取相同的10道试题，甲答对的题数X，乙答对的题数Y，若P(X=5)和P(Y=5)均存在，求甲、乙两同学答对题数的方差。
解析：
- 利用二项分布的公式计算P(X=5)和P(Y=5)。
- 利用方差的公式计算方差。
- 代码示例（Python）：
from sympy import binomial
n = 10
p = 0.5 # 假设每道题答对的概率为0.5
# 计算P(X=5)和P(Y=5)
prob_X = binomial(n, 5) * (p**5) * ((1-p)**(n-5))
prob_Y = binomial(n, 5) * (p**5) * ((1-p)**(n-5))
# 计算方差
variance_X = (5 - n*p)**2 * binomial(n, 5) * p**5 * ((1-p)**(n-5))
variance_Y = variance_X # 乙的方差与甲相同
print(f'甲的方差：{variance_X.evalf()}')
print(f'乙的方差：{variance_Y.evalf()}')
三、学习策略
1. 深入理解基础知识
在解决数学难题时，基础知识是解决问题的基石。因此，要深入理解每一个数学概念和定理，并能够熟练运用。
2. 注重解题方法
在解决具体问题时，要善于总结解题方法，将类似的问题归纳为一类，从而提高解题效率。
3. 勤于练习
数学能力的提升离不开大量的练习。通过不断的练习，可以巩固知识，提高解题速度和准确率。
4. 分析总结
在解题过程中，要学会分析总结，找出自己的不足之处，从而有针对性地进行改进。
通过以上解析和学习策略，相信读者在数学学习上会有所收获。