引言
2015年广东理科数学高考题目以其难度和深度著称，对于备考的学生和家长来说，深入分析这些题目不仅有助于理解高考命题趋势，还能为今后的备考提供宝贵的经验。本文将详细解析2015年广东理科数学的高考难题，并提供相应的备考攻略。
一、2015年广东理科数学高考题目解析
1. 难题一：解析几何问题
题目回顾
设椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为\(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，点\(P(x, y)\)是椭圆上任意一点，\(\angle F_1PF_2 = \theta\)，求\(\sin \theta\)的最大值。
解题思路
本题考查椭圆的性质和三角函数的应用。首先，利用椭圆的定义和性质，找出\(\sin \theta\)的表达式，然后通过求导找到最大值。
解题步骤
- 根据椭圆的定义，有\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
- 利用三角函数，可以得到\(\sin \theta = \frac{PF_1}{2a}\)。
- 求导并令导数为0，得到\(\sin \theta\)的最大值。
解题代码
from sympy import symbols, diff, solve
x, y, a, b, c = symbols('x y a b c')
PF1 = ((x + c)**2 + y**2)**0.5
PF2 = ((x - c)**2 + y**2)**0.5
sin_theta = PF1 / (2 * a)
max_sin_theta = solve(diff(sin_theta, x), x)
2. 难题二：数列问题
题目回顾
已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n}}{a_n}\)。
解题思路
本题考查数列极限的计算。首先，观察数列的递推关系，然后通过放缩法或夹逼定理求解。
解题步骤
- 分析数列的递推关系，找出数列的规律。
- 通过放缩法或夹逼定理，求解数列的极限。
解题代码
from sympy import symbols, limit, simplify
n = symbols('n')
a_n = symbols('a_n')
a_1 = 1
a_n_next = a_n + 1 / a_n
# 使用放缩法求解
lower_bound = limit(a_n_next, n, -oo)
upper_bound = limit(a_n_next, n, +oo)
limit_a_2n_over_a_n = simplify((a_n_next**2 - 1) / (a_n_next - 1))
二、备考攻略
1. 理解高考命题趋势
通过分析历年高考题目，可以发现高考命题越来越注重对学生综合能力的考察，包括数学思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力等。
2. 深入学习基础知识
扎实的基础知识是解决复杂问题的关键。学生需要深入理解各个数学知识点，并能够灵活运用。
3. 做好模拟练习
通过大量模拟练习，学生可以熟悉高考题目的类型和难度，提高解题速度和准确率。
4. 培养解题技巧
在解题过程中，学生需要不断总结和积累解题技巧，例如放缩法、夹逼定理、构造法等。
5. 保持良好的心态
高考是一场持久战，学生需要保持良好的心态，克服焦虑和紧张情绪。
结论
通过对2015年广东理科数学高考题目的解析和备考攻略的介绍，希望对广大考生有所帮助。在备考过程中，学生要注重基础知识的学习，提高解题能力，同时保持良好的心态，相信通过努力，一定能够取得优异的成绩。