引言
数学一真题是考研数学备考中的重要参考资料，通过对历年真题的深入研究，可以帮助考生了解考试题型、难度分布以及命题规律。本文将详细解析2015年数学一真题的答案，帮助考生更好地复习备考。
一、选择题部分
1. 选择题一
题目：设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\)，求\(f'(x)\)。
答案：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
解析：对\(f(x)\)求导，得\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
2. 选择题二
题目：若\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，则\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}\)的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A. 1
解析：根据\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，得\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot1=1\)。
二、填空题部分
1. 填空题一
题目：设\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，且\(a+b+c=0\)，则\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a\sin x+b\cos x+c}{x}=______\)。
答案：0
解析：由于\(a+b+c=0\)，得\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a\sin x+b\cos x+c}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a\sin x+b\cos x}{x}=0\)。
2. 填空题二
题目：设\(f(x)=\frac{1}{x}\)，则\(f''(x)=______\)。
答案：\(-\frac{2}{x^3}\)
解析：对\(f(x)=\frac{1}{x}\)求二阶导数，得\(f''(x)=\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{2}{x^3}\)。
三、解答题部分
1. 解答题一
题目：设\(f(x)=\ln x\)，求\(f'(x)\)。
答案：\(f'(x)=\frac{1}{x}\)
解析：对\(f(x)=\ln x\)求导，得\(f'(x)=\frac{1}{x}\)。
2. 解答题二
题目：证明：\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。
答案：
证明：设\(\epsilon>0\)，要证明\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，即证明对于任意\(\epsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(0<|x-0|<\delta\)时，有\(\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<\epsilon\)。
由于\(\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|=\left|\frac{\sin x-x}{x}\right|\)，而\(\sin x-x\)在\(x=0\)处可导，故\(\sin x-x\)在\(x=0\)处连续。
由拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(0,x)\)，使得\(\sin x-x=(\sin \xi-1)x\)。
因此，\(\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|=\left|\frac{\sin \xi-1}{x}\right|\cdot|x|=\left|\frac{\sin \xi-1}{\xi}\right|\cdot|\xi|<\epsilon\)。
由于\(\left|\frac{\sin \xi-1}{\xi}\right|\leq 1\)，故\(\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<\epsilon\)。
因此，\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。
总结
通过对2015年数学一真题的详细解析，考生可以了解考试题型、难度分布以及命题规律。希望本文的解析能够帮助考生在备考过程中更好地掌握知识点，提高解题能力。