引言

数学作为一门逻辑性和思维性很强的学科，在高考中占据着重要的地位。2016年的数学高考中，出现了一些颇具挑战性的题目。本文将针对这些难题进行解析，并总结出相应的解题技巧，帮助同学们在未来的数学学习中更加得心应手。

难题解析一：圆锥曲线问题

问题呈现：已知椭圆C的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0），点P（1，2）不在椭圆C上。设过点P的直线l与椭圆C相交于A、B两点。直线l的斜率k不存在时，|AB|的最大值为______。

解题思路：

  1. 首先根据题目条件，确定椭圆的方程。
  2. 由于直线l的斜率k不存在，即直线l垂直于x轴，因此直线l的方程为x=1。
  3. 将直线l的方程代入椭圆的方程，求解A、B两点的坐标。
  4. 根据A、B两点的坐标，求解|AB|的长度。
  5. 最后，分析|AB|长度的取值范围，求出|AB|的最大值。

解答过程：

  1. 椭圆方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
  2. 直线l的方程为x=1。
  3. 将x=1代入椭圆方程，得\(\frac{1}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
  4. 解得\(y = \pm \frac{b}{a}\)，即A、B两点的坐标为A(1, \(\frac{b}{a}\))和B(1, \(-\frac{b}{a}\))。
  5. 计算|AB|的长度：\(|AB| = 2 \times \frac{b}{a} = \frac{2b}{a}\)。
  6. 分析|AB|长度的取值范围，由于a>b>0，所以\(\frac{2b}{a}\)的最大值为2。
  7. 因此，|AB|的最大值为2。

难题解析二：数列问题

问题呈现：设数列{an}的通项公式为\(an = \frac{n(n+1)}{2}\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2}\)的值。

解题思路：

  1. 根据题目条件，确定数列{an}的通项公式。
  2. 利用极限的性质，求解\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2}\)。
  3. 计算极限值。

解答过程：

  1. 数列{an}的通项公式为\(an = \frac{n(n+1)}{2}\)。
  2. 计算\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2}\)： $\(\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}{\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2 + \left(\frac{(n-2)(n-1)}{2}\right)^2}\)\( \)\(= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n+1)^2}{2n^2 + 2n^2 + \frac{1}{4}(n-2)^2(n-1)^2}\)\( \)\(= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2 + \frac{1}{4}(n-2)^2(n-1)^2}\)\( \)\(= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4 + \frac{1}{4}\frac{(n-2)^2(n-1)^2}{n^2}}\)\( \)\(= \frac{1}{4}\)$
  3. 因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2}\)的值为\(\frac{1}{4}\)。

总结

通过以上对2016年数学高考难题的解析，我们可以发现，解决这些难题的关键在于熟练掌握基本公式和定理，以及灵活运用各种解题技巧。希望同学们在今后的学习中，能够不断提高自己的数学素养，轻松应对未来的挑战。