一、考试概述
2017年高考数学全国卷三主要面向全国部分省份的考生，试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分。本卷旨在考查学生的数学基础知识和应用能力，考察范围涵盖了函数、数列、概率统计、立体几何、解析几何等多个模块。
二、选择题解析
1. 函数部分
例题：设函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，求\(f(x)\)的对称轴。
答案：对称轴为\(x=2\)。
解题技巧：求函数的对称轴，首先需要找到函数的顶点坐标。对于二次函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其顶点坐标为\((-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))\)。在本题中，\(a=1, b=-4, c=3\)，代入公式可得对称轴\(x=2\)。
2. 数列部分
例题：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 3^n - 2^n\)，求\(a_5\)。
答案：\(a_5 = 243 - 32 = 211\)。
解题技巧：直接代入通项公式计算即可。
3. 概率统计部分
例题：从1，2，3，4，5中随机抽取两个数，求这两个数之和为奇数的概率。
答案：概率为\(\frac{3}{5}\)。
解题技巧：先计算所有可能的情况，再计算满足条件的情况，最后用满足条件的情况数除以总情况数得到概率。
三、填空题解析
1. 立体几何部分
例题：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\)为\(A_1D_1\)的中点，求\(BE\)的长度。
答案：\(BE = \sqrt{3}\)。
解题技巧：利用勾股定理求解。在正方体中，\(AD_1 = \sqrt{2}a\)，\(DE = \frac{a}{2}\)，\(BE = \sqrt{AD_1^2 + DE^2} = \sqrt{3}a\)。
2. 解析几何部分
例题：已知圆\(C：(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4\)，直线\(l：x+y=3\)，求圆心到直线\(l\)的距离。
答案：距离\(d = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
解题技巧：利用点到直线的距离公式\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)求解。其中，\(x_0\)和\(y_0\)为圆心坐标，\(A\)、\(B\)、\(C\)为直线方程系数。
四、解答题解析
1. 函数部分
例题：设函数\(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\)，其中\(a, b, c, d\)为实数且\(a \neq 0, c \neq 0\)。求证：当\(x=1\)时，\(f(x)\)取得最小值。
证明：
（1）当\(c=0\)时，\(f(x) = \frac{ax+b}{d}\)为常数函数，显然当\(x=1\)时取得最小值。
（2）当\(c \neq 0\)时，对\(f(x)\)求导得\(f'(x) = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \frac{b}{a}\)。
（3）当\(x < \frac{b}{a}\)时，\(f'(x) < 0\)，函数\(f(x)\)单调递减；当\(x > \frac{b}{a}\)时，\(f'(x) > 0\)，函数\(f(x)\)单调递增。
（4）因此，当\(x=1\)时，\(f(x)\)取得最小值。
2. 数列部分
例题：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 1}\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解：
（1）首先证明数列\(\{a_n\}\)单调递增。由数学归纳法，当\(n=1\)时，\(a_2 = \sqrt{2a_1 + 1} = \sqrt{3}\)，\(a_2 > a_1\)。假设当\(n=k\)时，\(a_{k+1} > a_k\)成立，则当\(n=k+1\)时，\(a_{k+2} = \sqrt{2a_{k+1} + 1} > \sqrt{2a_k + 1} = a_{k+1}\)，因此数列\(\{a_n\}\)单调递增。
（2）接下来证明数列\(\{a_n\}\)有界。由数列单调递增，可得\(a_2 > a_1\)，\(a_3 > a_2\)，以此类推，可得\(a_{n+1} > a_n\)。因此，\(a_n > 1\)。
（3）由单调有界定理，可得\(\lim_{n \to \infty} a_n\)存在。设\(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)，则\(A = \sqrt{2A + 1}\)，解得\(A = \frac{1}{2}\)。
因此，\(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}\)。