引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。本文将针对2017年河北高考数学真题进行详细解析，并提供相应的解题思路与技巧，帮助考生更好地理解和掌握高考数学的解题方法。

一、选择题解析

题目一：函数的奇偶性

题目内容：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f(x)\)的奇偶性。

解题思路：判断函数奇偶性，需验证\(f(-x) = f(x)\)（偶函数）或\(f(-x) = -f(x)\)（奇函数）。

解题步骤：

  1. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x\)。
  2. 比较\(f(-x)\)与\(f(x)\)：\(f(-x) = -f(x)\)，故\(f(x)\)为奇函数。

答案：奇函数

题目二：数列的通项公式

题目内容：已知数列\(\{a_n\}\)的前三项分别为1，3，7，求该数列的通项公式。

解题思路：观察数列前三项，发现相邻两项之差为2，3，可猜测数列为等差数列。

解题步骤：

  1. 计算相邻两项之差：\(a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2\)，\(a_3 - a_2 = 7 - 3 = 4\)。
  2. 猜测数列为等差数列，公差为2。
  3. 利用等差数列通项公式：\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)，其中\(d\)为公差。
  4. 代入已知条件：\(a_n = 1 + (n - 1) \times 2\)。

答案：\(a_n = 2n - 1\)

二、填空题解析

题目一：复数的运算

题目内容：已知复数\(z = 1 + i\)，求\(z^2\)。

解题思路：利用复数乘法公式\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)。

解题步骤：

  1. 计算\(z^2\)：\(z^2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2\)。
  2. 由于\(i^2 = -1\)，故\(z^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\)。

答案：\(2i\)

题目二：三角函数的化简

题目内容：化简\(\sin^2 x + \cos^2 x\)。

解题思路：利用三角恒等式\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)。

答案：\(1\)

三、解答题解析

题目一：解析几何

题目内容：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的左、右焦点分别为\(F_1(-c, 0)\)，\(F_2(c, 0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2 = 90^\circ\)，求椭圆的方程。

解题思路：利用椭圆的定义和性质，结合勾股定理求解。

解题步骤：

  1. 设点\(P\)的坐标为\((x, y)\)。
  2. 由椭圆的定义，有\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
  3. 由勾股定理，有\(PF_1^2 + PF_2^2 = F_1F_2^2\)。
  4. 将\(PF_1\)和\(PF_2\)用坐标表示，并代入上述两个方程。
  5. 解方程组，得到椭圆的方程。

答案：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)为待定系数。

题目二：数列的求和

题目内容：已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n = 3^n - 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\)。

解题思路：利用数列的递推关系和极限的性质求解。

解题步骤：

  1. 根据数列的前\(n\)项和，求出数列的通项公式：\(a_n = S_n - S_{n-1}\)。
  2. 代入已知条件，求出数列的通项公式：\(a_n = 3^n - 1 - (3^{n-1} - 1) = 2 \times 3^{n-1}\)。
  3. 求极限：\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \times 3^{n-1}}{3^n - 1}\)。
  4. 利用极限的性质，求出极限值。

答案：\(\frac{2}{3}\)