引言
数学作为一门基础学科，其解题技巧和思路对于提高解题效率和质量至关重要。本文将针对2017年数学丙卷的答案进行深入解析，旨在为广大数学学习者提供解题思路与技巧，帮助大家更好地掌握数学知识。
一、试卷概述
2017年数学丙卷主要考察了数学分析、高等代数、概率论与数理统计等基础知识。试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了多个知识点。
二、选择题解析
1. 选择题一
题目：设函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求\(f(x)\)的极值。
解析：
- 首先求导：\(f'(x)=3x^2-3\)。
- 令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\pm1\)。
- 当\(x< -1\)时，\(f'(x)>0\)；当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)。
- 因此，\(x=-1\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。
- 计算极大值和极小值：\(f(-1)=0\)，\(f(1)=0\)。
2. 选择题二
题目：设\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。
解析：
- 求特征多项式：\(\det(\lambda E-A)=\det\begin{bmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{bmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-6=\lambda^2-5\lambda-2\)。
- 解特征方程：\(\lambda^2-5\lambda-2=0\)，得\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=-1\)。
- 求特征向量：对于\(\lambda_1=2\)，解方程组\((2E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)，得\(\boldsymbol{x}_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)；对于\(\lambda_2=-1\)，解方程组\((-E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)，得\(\boldsymbol{x}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)。
三、填空题解析
1. 填空题一
题目：设\(f(x)=x^2+2x+1\)，求\(f(x)\)的导数。
解析：
- 求导：\(f'(x)=2x+2\)。
2. 填空题二
题目：设\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的行列式。
解析：
- 求行列式：\(\det(A)=1\times4-2\times3=-2\)。
四、解答题解析
1. 解答题一
题目：证明：若\(a>0\)，\(b>0\)，则\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{ab}\)。
解析：
- 证明：由均值不等式，有\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\geq\sqrt{\frac{a+b}{2}}\)。
- 两边同时乘以2，得\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{\frac{a+b}{2}}\)。
- 由算术平均数大于等于几何平均数，得\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。
- 将\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\)代入上式，得\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{ab}\)。
2. 解答题二
题目：设\(X\)和\(Y\)是相互独立的随机变量，\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，求\(Z=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}+\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\)的概率密度函数。
解析：
- 由于\(X\)和\(Y\)相互独立，\(Z\)的概率密度函数为\(Z\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。
- 概率密度函数为\(f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left(-\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right)\)。
总结
通过对2017年数学丙卷的解析，我们了解到数学解题的关键在于掌握基本概念、熟练运用公式和灵活运用解题技巧。希望本文能对广大数学学习者有所帮助。