揭秘2017年数学高考题：全国卷难题解析与备考攻略

引言

2017年数学高考题以其深度和广度著称，对于广大考生来说，掌握这些难题的解题技巧对于备考具有重要意义。本文将深入解析2017年数学高考全国卷中的几道难题，并提供相应的备考攻略。

一、2017年数学高考题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目描述：给定椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），点\(P\)在椭圆上，且满足\(OP \perp x\)轴，其中\(O\)为坐标原点。设直线\(y=kx+b\)与椭圆相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(A\)、\(B\)两点关于\(x\)轴对称。求证：\(k^2 = \frac{b^2}{a^2}\)。

解析：

利用椭圆的对称性，可得\(A\)、\(B\)两点的\(y\)坐标互为相反数，即\(y_A = -y_B\)。
根据椭圆方程，代入\(A\)、\(B\)两点的坐标，得到两个关于\(x\)的方程。
解这两个方程，可得\(A\)、\(B\)两点的\(x\)坐标。
利用\(A\)、\(B\)两点的坐标，求出直线\(y=kx+b\)的斜率\(k\)。
最后，根据\(k\)的表达式，证明\(k^2 = \frac{b^2}{a^2}\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2}\)，求证：\(\{a_n\}\)是递增数列。

解析：

证明数列的单调性，即证明\(a_{n+1} > a_n\)。
利用数学归纳法，首先证明当\(n=1\)时，\(a_2 > a_1\)。
假设当\(n=k\)时，\(a_{k+1} > a_k\)成立，即\(a_k^2 + 2 > a_k^2\)。
接着证明当\(n=k+1\)时，\(a_{k+2} > a_{k+1}\)，即\(a_{k+1}^2 + 2 > a_{k+1}^2\)。
由归纳法可知，\(\{a_n\}\)是递增数列。

3. 难题三：立体几何问题

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\)为\(AB\)的中点，\(F\)为\(CD_1\)的中点，\(G\)为\(BC_1\)的中点。求证：\(\triangle EFG\)是等边三角形。

解析：

利用正方体的性质，证明\(EF = FG = EG\)。
由于\(E\)、\(F\)、\(G\)分别为\(AB\)、\(CD_1\)、\(BC_1\)的中点，可得\(EF = \frac{1}{2}AB\)，\(FG = \frac{1}{2}CD_1\)，\(EG = \frac{1}{2}BC_1\)。
由正方体的性质，\(AB = CD_1 = BC_1\)，因此\(EF = FG = EG\)。
最后，根据等边三角形的定义，证明\(\triangle EFG\)是等边三角形。

二、备考攻略

1. 深入理解知识点

复习高中数学基础知识，如函数、数列、立体几何等。
理解并掌握各类数学题型的解题方法。

2. 做题训练

选择高质量的模拟题和历年高考题进行训练。
分析解题过程中的难点和易错点，总结解题技巧。

3. 注重解题思路

在解题过程中，注重逻辑思维和推理能力。
培养从不同角度思考问题的习惯。

4. 模拟考试

定期进行模拟考试，检验学习成果。
分析模拟考试中的不足，及时调整学习方法。