2017年的高考数学试卷中，有一道被称为“黑卷”的难题，让众多考生和教师都感到棘手。本文将详细解析这道难题的答案，并为你提供解题思路，帮助你轻松破解高考数学难题。
一、难题回顾
2017年高考数学试卷中的一道难题如下：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，若存在实数\(a\)，使得方程\(f(x)=a\)有三个不同的实数解，求实数\(a\)的取值范围。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要从以下几个方面入手：
- 函数的导数：首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数，以便分析函数的单调性和极值点。
- 极值点：通过导数的符号变化，我们可以找到函数的极值点，进而确定函数的极大值和极小值。
- 方程的解：根据方程\(f(x)=a\)的解的个数，我们可以判断实数\(a\)的取值范围。
三、解题步骤
1. 求导数
对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)求导，得到： $\(f'(x)=3x^2-6x+4\)$
2. 分析单调性和极值点
为了分析函数的单调性和极值点，我们需要解导数等于零的方程： $\(3x^2-6x+4=0\)\( 通过求根公式，我们可以得到两个实数根： \)\(x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3}, \quad x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{3}\)$
由于导数\(f'(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)之间为负，所以函数\(f(x)\)在这两个点之间是单调递减的；而在\(x_1\)和\(x_2\)之外，函数\(f(x)\)是单调递增的。
3. 极值点及函数值
根据极值点的定义，我们可以得到： $\(f(x_1)=f\left(\frac{2-\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{16\sqrt{2}-18}{9}\)\( \)\(f(x_2)=f\left(\frac{2+\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{16\sqrt{2}+18}{9}\)$
4. 方程的解及实数\(a\)的取值范围
由于方程\(f(x)=a\)有三个不同的实数解，所以实数\(a\)必须满足以下条件： $\(\frac{16\sqrt{2}-18}{9}<a<\frac{16\sqrt{2}+18}{9}\)$
四、总结
通过以上步骤，我们成功解决了2017年高考数学“黑卷”难题。这道题目主要考察了函数的导数、单调性、极值点以及方程的解，对于提高数学思维能力和解题技巧具有重要意义。希望本文的解析能够帮助你更好地理解和解决类似的数学难题。