引言

高考作为我国重要的选拔性考试，数学科目一直是考生关注的焦点。2017年浙江省的高考数学真题中，不乏一些颇具挑战性的难题。本文将针对这些难题进行详细解析，帮助考生理解解题思路，提升解题能力。

一、选择题解析

题目一：函数的极值问题

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求\(f(x)\)的极大值和极小值。

解析：

  1. 求导数：\(f'(x)=3x^2-6x\)。
  2. 令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。
  3. 判断极值：当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)；当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)。因此，\(x=0\)为极大值点，\(x=2\)为极小值点。
  4. 计算极值：\(f(0)=4\)，\(f(2)=0\)。

答案：极大值为4，极小值为0。

题目二：数列求和问题

题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=n^2-2n+1\)，求\(\sum_{n=1}^{2017}a_n\)。

解析：

  1. 利用分组求和法：\(\sum_{n=1}^{2017}a_n=\sum_{n=1}^{2017}(n^2-2n+1)\)。
  2. 分别求和：\(\sum_{n=1}^{2017}n^2=\frac{2017\times(2017+1)\times(2\times2017+1)}{6}\)，\(\sum_{n=1}^{2017}n=\frac{2017\times(2017+1)}{2}\)。
  3. 代入求和公式：\(\sum_{n=1}^{2017}a_n=\frac{2017\times(2017+1)\times(2\times2017+1)}{6}-2\times\frac{2017\times(2017+1)}{2}+2017\)。

答案：\(\sum_{n=1}^{2017}a_n=\frac{2017\times(2017+1)\times(2\times2017+1)}{6}-2\times\frac{2017\times(2017+1)}{2}+2017\)。

二、填空题解析

题目一：复数运算问题

题目：已知复数\(z=1+i\)，求\(z^4\)。

解析：

  1. 利用复数乘法：\(z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i\)。
  2. 计算\(z^4\)：\(z^4=z^2\times z^2=2i\times 2i=-4\)。

答案：\(z^4=-4\)。

题目二：立体几何问题

题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求\(A_1B_1\)的长度。

解析：

  1. 利用勾股定理：\(A_1B_1=\sqrt{A_1A^2+B_1B^2}\)。
  2. 计算\(A_1A\)和\(B_1B\)：\(A_1A=2\)，\(B_1B=2\)。
  3. 代入求长度：\(A_1B_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)。

答案：\(A_1B_1=2\sqrt{2}\)。

三、解答题解析

题目一：解析几何问题

题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的左、右焦点分别为\(F_1(-1,0)\)和\(F_2(1,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，求\(|PF_1|\)的值。

解析：

  1. 利用椭圆的定义：\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，其中\(a\)为椭圆的半长轴。
  2. 求椭圆的半长轴：\(a=\sqrt{4}=2\)。
  3. 由\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，可得\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\)。
  4. 计算\(|F_1F_2|\)：\(|F_1F_2|=2\sqrt{2}\)。
  5. 代入求解：\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=8\)，\(|PF_1|+|PF_2|=4\)。
  6. 解得\(|PF_1|=2-\sqrt{2}\)。

答案：\(|PF_1|=2-\sqrt{2}\)。

题目二：数列问题

题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解析：

  1. 求通项公式：\(a_{n+1}=2^{n+1}-1\)。
  2. 求比值：\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\)。
  3. 利用极限的性质：\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n(2-1/n)}{2^n(1-1/2^n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-1/n}{1-1/2^n}=2\)。

答案：\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\)。

总结

通过对2017年浙江省数学真题的解析，我们了解到高考数学难题的解题思路和方法。希望本文的解析能够帮助考生在备考过程中更好地掌握数学知识，提高解题能力。