揭秘2017太原高三一模数学：难题解析与备考策略全解析

引言

2017年太原高三一模数学考试作为高考前的一次重要模拟考试，对于考生来说具有很高的参考价值。本文将对2017年太原高三一模数学中的难题进行详细解析，并给出相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考。

一、难题解析

1. 难题一：圆锥曲线综合题

题目描述： 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的离心率为 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，过焦点 \(F_1\) 的直线 \(l\) 与椭圆相交于点 \(A\) 和 \(B\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y = \frac{1}{2}x + c\)。

（1）求椭圆的方程；（2）求直线 \(l\) 与椭圆的交点坐标；（3）求三角形 \(OAB\) 的面积。

解析：

（1）由椭圆的离心率公式 \(e = \frac{c}{a}\)，得到 \(c = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)。又因为 \(c^2 = a^2 - b^2\)，代入 \(c\) 的值，解得 \(a^2 = 4\)，\(b^2 = 1\)。所以椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)。

（2）将直线 \(l\) 的方程代入椭圆方程，解得交点坐标为 \(A\left(-\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}\right)\) 和 \(B\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)\)。

（3）由点 \(O\) 到直线 \(l\) 的距离公式 \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，代入 \(O\) 的坐标和直线 \(l\) 的方程，解得 \(d = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)。所以三角形 \(OAB\) 的面积为 \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{15}\)。

2. 难题二：立体几何综合题

题目描述： 已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的边长为 \(2\)，点 \(E\)、\(F\) 分别是棱 \(A_1B_1\) 和 \(C_1D_1\) 的中点。

（1）求异面直线 \(A_1B_1\) 和 \(CD_1\) 的距离；（2）求点 \(F\) 到平面 \(ABCD\) 的距离。

解析：

（1）连接 \(AE\) 和 \(B_1D_1\)，则 \(AE \perp B_1D_1\)。由于 \(ABCD\) 是正方形，\(A_1B_1 \perp AB\)，\(CD_1 \perp CD\)。所以 \(A_1B_1 \perp\) 平面 \(ABCD\)，且 \(CD_1 \parallel\) 平面 \(ABCD\)。因此，异面直线 \(A_1B_1\) 和 \(CD_1\) 的距离等于 \(A_1B_1\) 在平面 \(ABCD\) 上的投影长度，即 \(A_1E = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\)。

（2）连接 \(B_1C\) 和 \(B_1D\)，则 \(B_1C \perp CD_1\)，\(B_1D \perp A_1D_1\)。所以 \(B_1C \perp\) 平面 \(A_1D_1C\)，\(B_1D \perp\) 平面 \(A_1D_1C\)。因此，\(B_1C\) 和 \(B_1D\) 的交点 \(O\) 到平面 \(ABCD\) 的距离等于 \(B_1O\)。由勾股定理得 \(B_1O = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\)。

二、备考策略

1. 强化基础知识

数学学科的基础知识是解题的关键。考生在备考过程中要注重基础知识的学习和巩固，包括函数、数列、平面几何、立体几何、解析几何、概率统计等。

2. 注重解题技巧

解题技巧是提高解题速度和准确率的重要手段。考生可以通过练习大量的真题、模拟题来掌握各种题型的解题方法，提高解题能力。

3. 做好时间管理

数学考试时间紧张，考生要学会合理安排时间。在备考过程中，可以模拟真实考试环境，进行限时训练，提高时间利用效率。

4. 培养良好的心态

良好的心态是考试成功的一半。考生要树立信心，保持冷静，遇到难题时要沉着应对，不要慌张。