引言

2021年东城高三一模数学试卷作为高三学生备考的重要参考，其难度和题型往往能反映出高考数学的趋势。本文将深入解析2021年东城高三一模数学试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在备考过程中有的放矢。

难题解析

一、解析几何难题

题目类型：解析几何综合题

解题思路：

  1. 审题：仔细阅读题目，明确已知条件，如点、直线、圆的位置关系。
  2. 作图：根据题目条件，准确绘制图形，注意图形的对称性和几何性质。
  3. 分析：运用解析几何的基本定理和公式，如点到直线的距离公式、圆的方程等。
  4. 计算：根据图形和公式，进行必要的计算，如求交点坐标、求弦长等。

例子：

设圆(x^2 + y^2 = 4)，直线(y = kx + b)与圆相交于(A)、(B)两点，求(AB)的长。

解答：

  1. 作图：绘制圆和直线。
  2. 分析：根据圆的方程和直线的方程，联立方程组求解交点。
  3. 计算：求出交点坐标，利用距离公式计算(AB)的长度。
import sympy as sp

# 定义变量
x, y, k, b = sp.symbols('x y k b')

# 圆的方程
circle_eq = sp.Eq(x**2 + y**2, 4)

# 直线的方程
line_eq = sp.Eq(y, k*x + b)

# 求解交点
intersection_points = sp.solve((circle_eq, line_eq), (x, y))

# 计算弦长
AB_length = sp.sqrt((intersection_points[1][0] - intersection_points[0][0])**2 + (intersection_points[1][1] - intersection_points[0][1])**2)
AB_length

二、数列难题

题目类型：数列求和与通项公式

解题思路：

  1. 观察数列特征：分析数列的规律，如等差、等比、递推等。
  2. 求和公式：根据数列类型，运用相应的求和公式。
  3. 通项公式：根据数列规律，推导出通项公式。

例子：

已知数列({a_n})满足(a1 = 1)，(a{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n})，求(a_n)的通项公式。

解答：

  1. 观察特征：数列({a_n})为递推数列。
  2. 求和：利用递推关系，推导出数列的求和公式。
  3. 通项公式：通过求和公式，推导出通项公式。
# 定义变量
n = sp.symbols('n')

# 递推关系
recurrence_relation = sp.Eq(a_n.subs(n, n+1), a_n.subs(n, n) + 1/a_n.subs(n, n))

# 求和公式
sum_formula = sp.sum(a_n.subs(n, 1) + sp.Rational(1, a_n.subs(n, 1)), (n, 1, sp.oo))

# 通项公式
general_formula = sp.solve(recurrence_relation, a_n)
general_formula

三、概率与统计难题

题目类型：概率计算与统计推断

解题思路：

  1. 明确事件：准确理解题目中的事件，如随机事件、条件概率等。
  2. 概率计算：运用概率公式，如加法公式、乘法公式等。
  3. 统计推断：根据样本数据，进行统计推断，如假设检验、方差分析等。

例子：

从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌，求抽到红桃的概率。

解答：

  1. 明确事件：抽到红桃，即4张牌都是红桃。
  2. 概率计算：计算红桃的概率，再根据乘法公式计算4张都是红桃的概率。
# 定义变量
total_cards = 52
red_pokers = 13

# 红桃的概率
probability_red_pokers = red_pokers / total_cards

# 4张都是红桃的概率
probability_4_red_pokers = probability_red_pokers**4
probability_4_red_pokers

备考策略

一、加强基础知识

  1. 熟练掌握基本公式和定理：如解析几何中的基本定理、数列的求和公式、概率公式等。
  2. 强化基础训练：通过大量练习，巩固基础知识，提高解题速度和准确率。

二、提高解题技巧

  1. 培养逻辑思维能力：通过学习解题方法，提高逻辑思维能力，更好地解决复杂问题。
  2. 掌握多种解题方法：针对不同类型的题目，灵活运用不同的解题方法，提高解题效率。

三、注重实战演练

  1. 模拟考试：通过模拟考试，熟悉考试环境和节奏，提高应试能力。
  2. 总结经验：在模拟考试中总结经验，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行改进。

结语

通过本文对2021年东城高三一模数学难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够更好地备战高考。在备考过程中，要注重基础知识的学习，提高解题技巧，并注重实战演练，相信同学们一定能够在高考中取得优异的成绩。