引言

2023年江苏高考数学试卷中，一些题目因其难度和深度而备受关注。本文将针对其中几道具有代表性的难题，深入剖析其解题思路，帮助读者理解答案背后的逻辑和技巧。

难题一：解析几何问题

问题描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的左顶点为 \(A(-a, 0)\)，右顶点为 \(B(a, 0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(AP\) 的斜率为 \(m\)。求直线 \(PB\) 的斜率 \(n\)。

解题思路：

  1. 确定点 \(P\) 的坐标：设 \(P(x, y)\)，由于 \(P\) 在椭圆上，满足椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
  2. 计算斜率 \(m\)：由 \(AP\) 的斜率 \(m\) 可得 \(m = \frac{y}{x + a}\)。
  3. 利用椭圆方程求解 \(x\) 和 \(y\)：将 \(m\) 代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的方程，解得 \(x\) 的值。
  4. 计算斜率 \(n\)：由 \(PB\) 的斜率 \(n\) 可得 \(n = \frac{y}{x - a}\)。

解答过程：

  1. 将 \(m = \frac{y}{x + a}\) 代入椭圆方程，得到 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{m^2(x + a)^2}{b^2} = 1\)。
  2. 化简得 \(x^2 + m^2a^2(x + a)^2 = a^2b^2\)。
  3. 解得 \(x = \frac{a^2}{m^2 + 1}\)。
  4. 将 \(x\) 代入椭圆方程，得到 \(y^2 = \frac{b^2}{m^2 + 1}\)。
  5. 得到 \(y = \pm \frac{b}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
  6. 因此，\(n = \frac{y}{x - a} = \frac{\pm \frac{b}{\sqrt{m^2 + 1}}}{\frac{a^2}{m^2 + 1} - a} = \pm \frac{b}{a}\)。

难题二：数列问题

问题描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。

解题思路：

  1. 观察数列性质：由 \(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\) 可知，数列 \(\{a_n\}\) 是单调递增的。
  2. 利用数列单调性：由单调性可知，\(\lim_{n \to \infty} a_n\) 存在，设为 \(L\)。
  3. 计算极限：由 \(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\) 可得 \(L = L + \frac{1}{L}\)，解得 \(L = \sqrt{2}\)。
  4. 求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)：由 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2}\) 可得 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。

总结

本文针对2023年江苏高考数学试卷中的两道难题进行了详细解答，揭示了答案背后的解题思路。通过对这些难题的分析，读者可以更好地理解数学问题的解决方法，提高自己的数学思维能力。