几何变换是数学学习中一个重要的内容，它不仅有助于我们理解图形的内在规律，还能培养我们的空间想象能力和逻辑思维能力。在7年级数学学习中，折叠题库是帮助学生掌握几何变换的宝贵资源。本文将详细解析折叠题库中的各种题型，帮助同学们轻松掌握几何变换的奥秘。

一、折叠题库概述

折叠题库主要涉及以下几种几何变换：

  1. 平移：将图形沿某个方向移动一定距离。
  2. 旋转：将图形绕某个点旋转一定角度。
  3. 轴对称：将图形沿某条直线折叠，折叠后的两部分完全重合。
  4. 折叠：将图形沿某条直线折叠，折叠后的两部分不完全重合，但有一定的对应关系。

二、折叠题库题型解析

1. 平移

例题：将正方形ABCD沿AD边平移2个单位长度，得到正方形A’B’C’D’。求证：四边形A’B’C’D’是正方形。

解答步骤：

  1. 证明A’B’ = AD = 2。
  2. 证明∠A = ∠A’，∠B = ∠B’（对应角相等）。
  3. 证明AB = A’B’（边长不变）。

代码示例：

# 定义正方形ABCD的四个顶点
A = (0, 0)
B = (2, 0)
C = (2, 2)
D = (0, 2)

# 平移2个单位长度
A_prime = (A[0] + 2, A[1])
B_prime = (B[0] + 2, B[1])
C_prime = (C[0] + 2, C[1])
D_prime = (D[0] + 2, D[1])

# 输出平移后的四个顶点坐标
print("A' =", A_prime)
print("B' =", B_prime)
print("C' =", C_prime)
print("D' =", D_prime)

2. 旋转

例题：将等边三角形ABC绕点C旋转60°，得到等边三角形A’B’C’。求证：A’B’ = AB = BC = CA。

解答步骤：

  1. 证明∠ACB = ∠A’CB’ = 60°（等边三角形）。
  2. 证明AB = A’B’（边长不变）。
  3. 证明BC = B’C’（边长不变）。
  4. 证明CA = C’A’（边长不变）。

代码示例：

import math

# 定义等边三角形ABC的三个顶点
A = (0, 0)
B = (2, 0)
C = (1, math.sqrt(3))

# 绕点C旋转60°
theta = math.radians(60)
A_prime = (A[0] - C[0] + C[0] * math.cos(theta) - C[1] * math.sin(theta),
           A[1] - C[0] + C[0] * math.sin(theta) + C[1] * math.cos(theta))
B_prime = (B[0] - C[0] + C[0] * math.cos(theta) - C[1] * math.sin(theta),
           B[1] - C[0] + C[0] * math.sin(theta) + C[1] * math.cos(theta))
C_prime = (C[0], C[1])

# 输出旋转后的三个顶点坐标
print("A' =", A_prime)
print("B' =", B_prime)
print("C' =", C_prime)

3. 轴对称

例题：将等腰三角形ABC沿底边BC折叠，求折叠后点A的位置。

解答步骤：

  1. 找到BC的中点M。
  2. 连接AM，延长AM交BC于点D。
  3. 证明AD = DM（等腰三角形三线合一）。
  4. 求解点A的坐标。

代码示例：

# 定义等腰三角形ABC的三个顶点
A = (0, 0)
B = (0, 2)
C = (2, 2)

# 求BC中点M
M = ((B[0] + C[0]) / 2, (B[1] + C[1]) / 2)

# 求折叠后点A的坐标
D = (M[0], A[1])
A_prime = (2 * M[0] - D[0], 2 * M[1] - D[1])

# 输出折叠后点A的坐标
print("A' =", A_prime)

4. 折叠

例题：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，求折叠后点B的位置。

解答步骤：

  1. 找到对角线AC的中点E。
  2. 连接BE，延长BE交CD于点F。
  3. 证明BE = EF（折叠后的对应边相等）。
  4. 求解点B的坐标。

代码示例：

# 定义矩形ABCD的四个顶点
A = (0, 0)
B = (2, 0)
C = (2, 2)
D = (0, 2)

# 求对角线AC的中点E
E = ((A[0] + C[0]) / 2, (A[1] + C[1]) / 2)

# 求折叠后点B的坐标
F = (E[0], B[1])
B_prime = (2 * E[0] - F[0], 2 * E[1] - F[1])

# 输出折叠后点B的坐标
print("B' =", B_prime)

三、总结

通过以上对折叠题库中各种题型的解析，相信同学们已经对几何变换有了更深入的了解。在今后的学习中，希望大家能够多加练习，不断提高自己的空间想象能力和逻辑思维能力。