引言
1977年，中国恢复高考制度，数学作为高考的重要科目，其难度和深度一直是考生们关注的焦点。本文将带大家回顾77年的一道经典初中数学难题，并探讨它背后的数学原理和解决方法。
难题呈现
假设在一个平面直角坐标系中，有两条直线 \(y = 2x + 1\) 和 \(y = -\frac{1}{2}x + 2\)。求这两条直线所围成的图形的面积。
解题思路
要解决这个问题，我们需要以下几个步骤：
- 求交点坐标：首先，我们需要求出两条直线的交点坐标，这个坐标即为两条直线的交点。
- 计算三角形面积：由于两条直线相交，所围成的图形是一个三角形。我们可以利用三角形的面积公式来求解。
- 求解面积：根据已知的直线方程和求出的交点坐标，我们可以计算出三角形的底和高，进而求出面积。
解题步骤
1. 求交点坐标
设两条直线的交点为 \((x_0, y_0)\)，则有以下方程组：
[ \begin{cases} y_0 = 2x_0 + 1 \ y_0 = -\frac{1}{2}x_0 + 2 \end{cases} ]
我们可以通过解这个方程组来求得交点坐标。
2. 计算三角形面积
设三角形的高为 \(h\)，底为 \(b\)。根据题目中两条直线的斜率和截距，我们可以得出：
- 底 \(b\) 为两条直线之间的水平距离。
- 高 \(h\) 为两条直线之间的垂直距离。
我们可以通过以下公式计算三角形面积：
[ S = \frac{1}{2} \times b \times h ]
3. 求解面积
现在我们已经得到了交点坐标、底和高，接下来我们只需要将它们代入面积公式，就可以求出所求三角形的面积。
代码实现
以下是Python代码实现：
# 求交点坐标
def intersection_point(line1, line2):
x0 = (line2[1] - line1[1]) / (line2[0] - line1[0])
y0 = line1[0] * x0 + line1[1]
return x0, y0
# 计算三角形面积
def triangle_area(x0, y0, line1, line2):
b = abs((line2[1] - line1[1]) / (line2[0] - line1[0]))
h = abs(line1[0] * x0 + line1[1] - y0)
return 0.5 * b * h
# 定义两条直线方程
line1 = (2, 1) # 斜率2，截距1
line2 = (-0.5, 2) # 斜率-0.5，截距2
# 求解交点坐标
x0, y0 = intersection_point(line1, line2)
# 计算面积
area = triangle_area(x0, y0, line1, line2)
print("所求三角形的面积为：{:.2f}".format(area))
总结
本文通过分析1977年一道初中数学经典难题，回顾了当时的学习经历。通过对这道题目的解析和求解，我们可以体会到数学学习的魅力和挑战。希望这篇文章能够帮助大家重温那些年学数学的酸甜苦辣。