引言
80年代的数学竞赛在我国历史上留下了浓墨重彩的一笔，那个时代的竞赛题目不仅考验了参赛者的数学功底，更激发了他们的创新思维和解决问题的能力。本文将带您回顾那些令人脑洞大开的经典题目，并分享一些解题技巧。
一、经典题目回顾
1. 题目一：数列求和
题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2+a_n\)，求 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解题思路：首先，我们可以尝试找出数列的前几项，观察规律。然后，通过构造函数和利用极限的性质来求解。
2. 题目二：几何问题
题目：已知平面直角坐标系中，点 \(A(0,1)\)，\(B(1,0)\)，\(C(x,y)\)，求证：\(\triangle ABC\) 的外接圆半径 \(R\) 与 \(x^2+y^2\) 成正比。
解题思路：我们可以利用解析几何的方法，通过建立坐标系和运用坐标公式来证明。
3. 题目三：数列极限
题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{1-a_n}\)，求 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解题思路：这道题目与题目一类似，我们可以通过观察数列的前几项，构造函数和利用极限的性质来求解。
二、解题技巧分享
1. 观察规律，寻找规律
在解决数学竞赛题目时，观察题目中的数据、图形等，寻找规律是至关重要的。通过观察，我们可以发现一些隐藏的规律，从而为解题提供线索。
2. 构造函数，利用函数性质
在解决一些数学问题时，构造函数是一种常用的方法。通过构造函数，我们可以将问题转化为函数的性质，从而更容易找到解题思路。
3. 运用极限，解决数列问题
在解决数列问题时，运用极限的方法是一种有效的方法。通过极限，我们可以研究数列的敛散性、极限值等性质，从而找到解题思路。
4. 结合图形，解析几何问题
在解决几何问题时，结合图形进行分析是一种常用的方法。通过建立坐标系和运用坐标公式，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易解决。
三、总结
80年代的数学竞赛题目不仅考验了参赛者的数学功底，更激发了他们的创新思维和解决问题的能力。通过回顾这些经典题目和分享解题技巧，我们希望对广大数学爱好者有所帮助。在今后的学习中，希望大家能够不断积累经验，提高自己的数学素养。