引言
北大版《高等数学下册》是一本深受广大数学学习者喜爱的教材。本书内容丰富，涵盖了高等数学的核心知识点，对于准备考研或提升数学水平的学生来说，掌握本书的内容至关重要。本文将深入解析该教材的核心答案，帮助读者轻松掌握数学难题。
第一章：多元函数微分学
1.1 多元函数的定义与极限
- 核心答案：多元函数的极限存在，当且仅当它在各坐标轴方向上的极限存在且相等。
- 举例说明：
考虑函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x^2 + y^2 + 1)，求点 (0, 0) 处的极限。 解：当 x, y 趋近于 0 时，极限为 0。
1.2 多元函数的连续性
- 核心答案：多元函数在一点连续，当且仅当在该点的各方向极限存在且等于该点的函数值。
- 举例说明：
考虑函数 f(x, y) = x^2 + y^2，求点 (0, 0) 处的连续性。 解：函数在点 (0, 0) 处连续。
第二章：多元函数积分学
2.1 二重积分
- 核心答案：二重积分可以通过极坐标变换简化计算。
- 举例说明：
计算区域 D：x^2 + y^2 ≤ 1，函数 f(x, y) = x^2 + y^2 的二重积分。 解：转换为极坐标后，积分结果为 π。
2.2 三重积分
- 核心答案：三重积分可以通过柱坐标或球坐标变换简化计算。
- 举例说明：
计算区域 V：x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1，函数 f(x, y, z) = z 的三重积分。 解：转换为球坐标后，积分结果为 4/3 π。
第三章：向量分析
3.1 向量场的概念
- 核心答案：向量场是由向量构成的场，向量在空间中的分布和方向随位置变化。
- 举例说明：
定义向量场 F(x, y, z) = (i + yj) / (x^2 + y^2 + z^2)。
3.2 线积分与面积分
- 核心答案：线积分和面积分是研究向量场性质的重要工具。
- 举例说明：
计算向量场 F(x, y, z) = (i + yj) / (x^2 + y^2 + z^2) 在路径 L 上的线积分。 解：通过格林公式转换为面积分，计算结果为 2π。
结语
通过以上对北大版《高等数学下册》核心答案的解析，相信读者能够对高等数学的核心概念有更深入的理解。在学习和解题过程中，不断练习和总结，定能轻松掌握数学难题。