一、二次函数概述
二次函数是数学中一个非常重要的函数，其一般形式为 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a, b, c\) 为常数，且 \(a \neq 0\)。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。通过对二次函数的研究，我们可以解决许多实际问题。
二、二次函数分类讨论
二次函数的分类讨论主要基于其判别式 \(Δ = b^2 - 4ac\) 的值。根据判别式的不同，二次函数可以分为以下三类：
1. 判别式 \(Δ > 0\)
当 \(Δ > 0\) 时，二次函数有两个不相等的实数根。此时，抛物线与 \(x\) 轴有两个交点。
解题技巧：
- 求出两个实数根 \(x_1\) 和 \(x_2\)。
- 判断抛物线的开口方向，确定最大值或最小值。
- 利用根与系数的关系，简化计算。
示例：
已知二次函数 \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)，求其两个实数根。
解：\(Δ = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0\)，因此有两个实数根。由求根公式得：
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{6 + 0}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{6 - 0}{2} = 3 \]
所以，\(f(x)\) 的两个实数根均为 \(x = 3\)。
2. 判别式 \(Δ = 0\)
当 \(Δ = 0\) 时，二次函数有两个相等的实数根。此时，抛物线与 \(x\) 轴有一个交点，即顶点。
解题技巧：
- 求出实数根 \(x_0\)。
- 判断抛物线的开口方向，确定最大值或最小值。
- 利用顶点公式 \(x_0 = -\frac{b}{2a}\)，简化计算。
示例：
已知二次函数 \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)，求其实数根。
解：\(Δ = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 0\)，因此有两个相等的实数根。由顶点公式得：
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 \]
所以，\(f(x)\) 的实数根为 \(x = 2\)。
3. 判别式 \(Δ < 0\)
当 \(Δ < 0\) 时，二次函数没有实数根。此时，抛物线与 \(x\) 轴没有交点。
解题技巧：
- 判断抛物线的开口方向，确定最大值或最小值。
- 利用顶点公式 \(x_0 = -\frac{b}{2a}\)，求出顶点坐标。
示例：
已知二次函数 \(f(x) = x^2 + 2x + 5\)，求其最大值。
解：\(Δ = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = -16 < 0\)，因此没有实数根。由顶点公式得：
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \]
将 \(x_0 = -1\) 代入 \(f(x)\)，得：
\[ f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 5 = 4 \]
所以，\(f(x)\) 的最大值为 \(4\)。
三、总结
通过对二次函数的分类讨论，我们可以解决各种实际问题。在实际解题过程中，我们需要根据题目所给条件，灵活运用分类讨论的思想，从而轻松解决二次函数问题。