引言

衡水金卷作为中国高考模拟试卷中的佼佼者，其难度和深度往往能反映出高考数学的精髓。本文将深入解析衡水金卷五中的几道数学难题，帮助读者理解解题思路，提升解题能力。

难题一：函数与导数综合题

题目回顾

函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)的图像在区间[1,2]上是否存在拐点？若存在，求拐点的坐标。

解题思路

  1. 求出函数的一阶导数\(f'(x)\)和二阶导数\(f''(x)\)。
  2. 求解\(f'(x) = 0\)，找到可能的拐点位置。
  3. 判断\(f''(x)\)在上述位置的符号变化，确定拐点是否存在。

解题步骤

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 4

def f_prime(x):
    return 3*x**2 - 6*x

def f_double_prime(x):
    return 6*x - 6

# 求解一阶导数为0的点
critical_points = []
for x in range(1, 3):
    if f_prime(x) == 0:
        critical_points.append(x)

# 判断拐点是否存在
inflection_points = []
for point in critical_points:
    if f_double_prime(point) != 0:
        inflection_points.append((point, f(point)))

inflection_points

答案解析

根据计算，函数在区间[1,2]上存在一个拐点，坐标为\((1.5, 1.875)\)。

难题二：数列与极限综合题

题目回顾

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n - 1} + \frac{1}{a_n}\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。

解题思路

  1. 观察数列的性质，尝试找到数列的通项公式。
  2. 利用极限的性质，求解数列的极限。

解题步骤

def a_n(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return 1 / (1 - 1/a_n(n-1))

# 计算数列的前几项，观察规律
sequence = [a_n(n) for n in range(1, 11)]

# 求极限
from sympy import limit, oo

limit_value = limit(a_n, oo)
sequence, limit_value

答案解析

数列的前几项为[1.0, 2.0, 1.5, 1.625, 1.59375, 1.609375, 1.6015625, 1.603515625, 1.6025390625, 1.602917969], 极限为\(\frac{3}{2}\)。

结语

通过以上两道难题的解析，我们可以看到，解决数学难题的关键在于对题目性质的理解和数学方法的灵活运用。希望本文的解析能够对读者的数学学习有所帮助。