引言

湖北联考作为中国高考的重要组成部分，其数学试题往往以难度高、灵活性大而著称。本文将深入解析几道具有代表性的湖北联考数学难题，并提供详细的答案解析，以期帮助考生在备考过程中提升解题能力。

难题一：函数与导数的综合应用

题目描述： 已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求函数的极值点及对应的最大值和最小值。

解题步骤：

  1. 求导数： 对函数\(f(x)\)求导得到\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
  2. 求导数的零点： 令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)和\(x_2=\frac{2}{3}\)。
  3. 判断极值点： 通过二次导数或导数的符号变化判断，\(x_1=1\)为极大值点，\(x_2=\frac{2}{3}\)为极小值点。
  4. 计算极值： 将\(x_1\)和\(x_2\)代入原函数，得到\(f(1)=3\)和\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}\)。
  5. 结论： 函数\(f(x)\)的极大值为3，极小值为\(\frac{7}{27}\)。

难题二：立体几何中的最值问题

题目描述： 在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，\(F\)为\(CD\)的中点，求\(EF\)的长度的最大值和最小值。

解题步骤：

  1. 建立坐标系： 以\(D\)为原点，\(DA\)为\(x\)轴，\(DC\)为\(y\)轴，\(DD_1\)为\(z\)轴，建立空间直角坐标系。
  2. 确定点的坐标： 根据正方体的性质，得到\(E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)\)，\(F\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)\)。
  3. 计算\(EF\)的长度： 使用空间两点间的距离公式，得到\(EF=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-0\right)^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)。
  4. 结论： \(EF\)的长度的最大值和最小值均为\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)。

难题三：概率论与数列的综合应用

题目描述： 抛掷一枚均匀的正六面骰子三次，求出现三个奇数的概率。

解题步骤：

  1. 确定样本空间： 抛掷三次骰子，样本空间为\(\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^3\)。
  2. 确定事件： 事件\(A\)为“出现三个奇数”，则\(A=\{(1, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 1, 5), (1, 5, 1), (5, 1, 1), (3, 3, 3), (3, 5, 3), (5, 3, 3), (5, 5, 5)\}\)。
  3. 计算概率： 概率\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{216}=\frac{1}{18}\)。
  4. 结论： 出现三个奇数的概率为\(\frac{1}{18}\)。

总结

通过以上对湖北联考数学难题的解析，我们不仅了解了解题思路，还学会了如何运用数学知识解决实际问题。希望这些解析能够帮助考生在备考过程中有所收获，提升解题能力。