一、背景介绍
辽宁四省联考，即辽宁省、吉林省、黑龙江省、内蒙古自治区四省之间的联合高考，是中国高考制度的一种特殊形式。联考的数学题目历来以难度较高、题型新颖著称，深受广大师生关注。本文将针对今年辽宁四省联考中的一道数学难题进行解析，并揭晓答案。
二、难题呈现
（此处应插入题目图片或文字描述，以下为文字描述）
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值和最小值。
三、解题思路
解题思路如下：
- 求函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)；
- 判断\(f'(x)\)的零点，即求出函数\(f(x)\)的驻点；
- 分析驻点附近的函数值，结合端点值，比较得出最大值和最小值。
四、详细解答
1. 求导数
首先，对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)求导数，得到： $\(f'(x)=3x^2-6x+4\)$
2. 求驻点
接下来，令\(f'(x)=0\)，解得： $\(3x^2-6x+4=0\)\( \)\(x^2-2x+\frac{4}{3}=0\)\( \)\((x-1)^2=\frac{1}{3}\)\( \)\(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)$
所以，函数\(f(x)\)的驻点为\(x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
3. 比较端点值和驻点值
现在，我们需要比较端点值和驻点值来确定最大值和最小值。
- 端点值：\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)+1=-1-3-4+1=-7\)，\(f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3+1=27-27+12+1=13\)。
- 驻点值：\(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+4(1-\frac{\sqrt{3}}{3})+1\)，\(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2+4(1+\frac{\sqrt{3}}{3})+1\)。
通过计算，我们得到：
- \(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\approx-1.5\)
- \(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\approx4.5\)
综合比较端点值和驻点值，我们可以得出结论：
- 最大值为\(f(3)=13\)
- 最小值为\(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\approx-1.5\)
五、总结
通过对辽宁四省联考数学难题的解析，我们了解到解题的关键在于熟练掌握求导数、求驻点以及比较端点值和驻点值的方法。在解题过程中，我们要注意计算的精确性，避免出现错误。希望本文的解析对广大师生有所帮助。