引言
南京三模考试作为高考前的重要模拟考试，其难度和深度往往能反映出高考数学的命题趋势。本文将针对南京三模中的一道数学难题进行详细解析，帮助读者理解其解题思路，从而一窥高考数学的真谛。
难题展示
题目：设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 3\)。
解题思路
要证明\(f(x)\geq 3\)，我们可以从以下几个方面入手：
- 求导分析：首先对函数\(f(x)\)求导，分析其单调性。
- 极值分析：找出函数的极值点，判断极值点处的函数值。
- 不等式证明：利用导数和极值点，证明对于任意实数\(x\)，\(f(x)\geq 3\)。
解题步骤
1. 求导分析
对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)求导，得到： $\(f'(x)=3x^2-6x+4\)$
2. 极值分析
为了找出极值点，我们需要解方程\(f'(x)=0\)： $\(3x^2-6x+4=0\)$
解得： $\(x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3},\quad x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{3}\)$
3. 不等式证明
3.1 极值点处的函数值
将\(x_1\)和\(x_2\)代入原函数\(f(x)\)，得到： $\(f(x_1)=\frac{4\sqrt{2}-8}{3},\quad f(x_2)=\frac{4\sqrt{2}+8}{3}\)$
由于\(f(x_1)<3\)，\(f(x_2)>3\)，我们需要证明在\(x_1\)和\(x_2\)之间，函数\(f(x)\)的值始终大于等于3。
3.2 函数的单调性
根据导数\(f'(x)\)的符号，我们可以判断函数\(f(x)\)的单调性。当\(x<x_1\)或\(x>x_2\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(x_1<x<x_2\)时，\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减。
因此，在\(x_1\)和\(x_2\)之间，函数\(f(x)\)的值始终大于等于\(f(x_1)\)，即： $\(f(x)\geq f(x_1)=\frac{4\sqrt{2}-8}{3}\)$
由于\(\frac{4\sqrt{2}-8}{3}<3\)，我们需要证明在\(x_1\)和\(x_2\)之间，函数\(f(x)\)的值始终大于3。
3.3 构造不等式
为了证明在\(x_1\)和\(x_2\)之间，函数\(f(x)\)的值始终大于3，我们可以构造不等式： $\(f(x)-3=x^3-3x^2+4x+6-3=x^3-3x^2+4x+3=(x-1)(x^2-2x-3)\)$
由于\(x_1<x<x_2\)，我们有\(x-1<0\)，且\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)<0\)。因此，\((x-1)(x^2-2x-3)>0\)，即\(f(x)-3>0\)。
综上所述，对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 3\)。
总结
通过对南京三模数学难题的解析，我们不仅掌握了这道题的解题思路，还深入了解了高考数学的命题特点。在今后的学习中，我们要注重基础知识的积累，提高解题能力，从而在高考中取得优异成绩。