引言
南通2017高三四模数学试卷作为高考前的重要模拟考试，其难度和深度都备受考生和教师关注。本文将深入剖析其中的一道数学难题，旨在帮助考生理解解题思路，提升解题能力。
难题呈现
题目： 已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\ln x\)，其中\(x>0\)，求证：对于任意正整数\(n\)，都有\(\frac{1}{n!} \leq \int_1^n f(x) \, dx \leq \frac{1}{(n-1)!}\)。
解题思路
第一步：分析函数性质
首先，我们需要分析函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\ln x\)的性质。为此，我们可以计算其导数：
\[f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = -\frac{x+1}{x^2}\]
由于\(x>0\)，所以\(f'(x)<0\)，说明函数\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上是单调递减的。
第二步：利用定积分中值定理
根据定积分中值定理，对于任意连续函数\(f(x)\)，存在\(\xi \in [a, b]\)，使得：
\[\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)\]
在本题中，我们可以将积分区间\([1, n]\)划分为\(n-1\)个小区间，每个小区间的长度为\(1\)。根据定积分中值定理，存在\(\xi_i \in [i, i+1]\)，使得：
\[\int_i^{i+1} f(x) \, dx = f(\xi_i)\]
第三步：证明不等式
由于\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上单调递减，我们有：
\[f(1) \geq f(\xi_i) \geq f(n)\]
因此：
\[\int_1^{n} f(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n-1} \int_i^{i+1} f(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n-1} f(\xi_i) \geq (n-1)f(1) = \frac{1}{n} - \ln 1 = \frac{1}{n}\]
同理，我们有：
\[\int_1^{n} f(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n-1} \int_i^{i+1} f(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n-1} f(\xi_i) \leq (n-1)f(n) = \frac{1}{n-1} - \ln (n-1)\]
因此，我们得到：
\[\frac{1}{n} \leq \int_1^n f(x) \, dx \leq \frac{1}{n-1} - \ln (n-1)\]
第四步：证明结论
由于\(\ln (n-1) \leq \ln n\)，我们有：
\[\frac{1}{n-1} - \ln (n-1) \leq \frac{1}{n-1} - \ln n = \frac{1}{(n-1)!}\]
因此，我们得到：
\[\frac{1}{n} \leq \int_1^n f(x) \, dx \leq \frac{1}{(n-1)!}\]
总结
通过对南通2017高三四模数学难题的深入剖析，我们不仅掌握了解题思路，还提升了解题能力。希望本文能够帮助考生在高考中取得优异成绩。