引言

宁波二模数学试卷作为国内知名的高考模拟试卷，其难度和深度一直备受考生和教师关注。本文将针对宁波二模数学试卷中的几道难题进行详细解析，帮助考生理解解题思路，提升解题能力。

难题一：解析几何问题

题目

已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)。若直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相交于点 \(A\)、\(B\)，求证：\(AB\) 的中点 \(M\) 在椭圆内部。

解题思路

  1. 利用椭圆的定义，将 \(PF_1 + PF_2 = 2a\) 转化为 \(PF_1^2 + PF_2^2 = 4a^2\)。
  2. 利用焦点公式，将 \(PF_1^2 + PF_2^2\) 表达为 \(x^2 + y^2\) 的形式。
  3. 将直线 \(y = kx + m\) 代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的二次方程。
  4. 利用韦达定理，求出 \(A\)、\(B\) 两点的横坐标之和和乘积。
  5. 根据中点坐标公式，求出 \(M\) 的坐标。
  6. 将 \(M\) 的坐标代入椭圆方程，判断 \(M\) 是否在椭圆内部。

解题步骤

  1. 由 \(PF_1 + PF_2 = 2a\) 得 \(PF_1^2 + PF_2^2 = 4a^2\)。
  2. 由焦点公式得 \(PF_1^2 = x^2 + y^2 - c^2\)，\(PF_2^2 = x^2 + y^2 + c^2\)。
  3. 将 \(PF_1^2 + PF_2^2\) 表达为 \(x^2 + y^2\) 的形式，得 \(2x^2 + 2y^2 = 4a^2\)。
  4. 将直线 \(y = kx + m\) 代入椭圆方程，得 \((1 + k^2)x^2 + 2kmx + (m^2 - b^2) = 0\)。
  5. 根据韦达定理，得 \(x_1 + x_2 = -\frac{2km}{1 + k^2}\)，\(x_1x_2 = \frac{m^2 - b^2}{1 + k^2}\)。
  6. 根据中点坐标公式，得 \(M\left(-\frac{km}{1 + k^2}, \frac{m}{1 + k^2}\right)\)。
  7. 将 \(M\) 的坐标代入椭圆方程，得 \(\frac{m^2}{(1 + k^2)^2} + \frac{b^2k^2m^2}{(1 + k^2)^2} < b^2\)。
  8. 化简得 \(m^2 < b^2(1 + k^2)\)，即 \(M\) 在椭圆内部。

难题二：立体几何问题

题目

已知正四面体 \(ABCD\) 的棱长为 \(a\)，点 \(E\)、\(F\) 分别为棱 \(AB\)、\(CD\) 的中点，求证：\(EF\) 平行于平面 \(BCD\)。

解题思路

  1. 利用正四面体的性质，证明 \(EF\) 平行于 \(AD\)。
  2. 利用平面与直线平行的判定定理，证明 \(EF\) 平行于平面 \(BCD\)。

解题步骤

  1. 由正四面体的性质，得 \(AD\) 是平面 \(BCD\) 的垂线。
  2. 由 \(E\)、\(F\) 分别为棱 \(AB\)、\(CD\) 的中点，得 \(EF\) 是 \(\triangle ABC\) 的中线。
  3. 由 \(\triangle ABC\) 是等边三角形，得 \(EF\) 平行于 \(AD\)。
  4. 由平面与直线平行的判定定理，得 \(EF\) 平行于平面 \(BCD\)。

总结

本文针对宁波二模数学试卷中的两道难题进行了详细解析，帮助考生理解解题思路，提升解题能力。希望考生在今后的学习中，能够不断积累解题经验，提高自己的数学水平。