一、题目回顾
宁波十校联考数学11题如下：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
二、解题思路
要证明\(f(x)\geq 0\)，我们可以通过以下步骤进行：
- 求导数：首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。
- 分析导数：通过分析导数\(f'(x)\)的符号，我们可以确定函数\(f(x)\)的单调性。
- 求极值：根据单调性，我们可以找到函数\(f(x)\)的极值点。
- 分析极值：最后，我们需要分析极值点的函数值，以确定函数的最小值。
三、详细解答
1. 求导数
首先，我们对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)求导，得到：
f'(x) = 3x^2 - 6x + 4
2. 分析导数
接下来，我们分析导数\(f'(x)\)的符号。为了方便分析，我们可以先求出导数的零点：
3x^2 - 6x + 4 = 0
通过求根公式，我们可以得到：
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}i
由于导数的零点是复数，这意味着导数\(f'(x)\)在实数范围内没有零点。因此，我们可以得出结论：导数\(f'(x)\)在实数范围内始终大于0或始终小于0。
为了确定导数的符号，我们可以取一个实数\(x\)，例如\(x=0\)，代入导数\(f'(x)\)中：
f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4
由于\(f'(0)>0\)，我们可以得出结论：导数\(f'(x)\)在实数范围内始终大于0。
3. 求极值
由于导数\(f'(x)\)在实数范围内始终大于0，这意味着函数\(f(x)\)在整个实数范围内是单调递增的。因此，函数\(f(x)\)没有极值点。
4. 分析极值
由于函数\(f(x)\)在整个实数范围内是单调递增的，我们可以得出结论：函数\(f(x)\)的最小值出现在\(x\)的取值范围的最小端点，即\(x=-\infty\)。然而，由于函数\(f(x)\)在\(x=-\infty\)时的极限是\(-\infty\)，我们可以得出结论：函数\(f(x)\)在整个实数范围内没有最小值。
四、结论
根据以上分析，我们可以得出结论：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。这是因为函数\(f(x)\)在整个实数范围内是单调递增的，且没有最小值。
五、解题技巧
- 求导数：在解决函数问题时，求导数是一个非常重要的步骤。通过求导数，我们可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。
- 分析导数：分析导数的符号可以帮助我们确定函数的单调性，从而简化问题。
- 求极值：在解决函数问题时，求极值也是一个重要的步骤。通过求极值，我们可以找到函数的最大值和最小值。
- 分析极值：分析极值点的函数值可以帮助我们确定函数的最小值和最大值。
通过以上解题技巧，我们可以更好地解决数学问题。