引言

清华大学作为中国顶尖的高等学府，其数学讲座历来备受关注。这些讲座不仅展示了数学领域的最新研究成果，还深入解析了许多热门数学题目。本文将揭秘清华数学讲座中的一些热门题目，并对其进行深度解析，同时揭晓答案。

第一部分：解析题目一

题目一：某数列的前n项和为S_n，数列的第n项为a_n，已知S_1=1，S_2=3，S_3=6，求a_n的表达式。

解析：

  1. 首先，观察数列的前三项和，可以发现S_n是一个等差数列的前n项和。
  2. 通过计算S_1, S_2, S_3，可以得出等差数列的公差为2。
  3. 由于S_1=1，可以确定等差数列的首项为1。
  4. 根据等差数列的通项公式，可以得出a_n的表达式。

代码示例：

def an(n):
    return 1 + (n - 1) * 2

# 测试
print(an(1))  # 输出结果应为1
print(an(2))  # 输出结果应为3
print(an(3))  # 输出结果应为5

答案：

根据上述解析，a_n的表达式为a_n = 1 + (n - 1) * 2。

第二部分：解析题目二

题目二：已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

解析：

  1. 首先，计算f(x)的一阶导数f’(x)。
  2. 求解f’(x) = 0，得到x的临界点。
  3. 将临界点代入f(x)，得到f(x)的值。
  4. 比较区间[0, 2]两端点和临界点处的f(x)值，确定最大值和最小值。

代码示例：

import math

def f(x):
    return x**3 - 3*x

def find_extrema(f, a, b):
    critical_points = []
    for x in range(a, b+1):
        if x**3 - 3*x == 0:
            critical_points.append(x)
    max_value = max([f(x) for x in critical_points + [a, b]])
    min_value = min([f(x) for x in critical_points + [a, b]])
    return max_value, min_value

# 测试
max_value, min_value = find_extrema(f, 0, 2)
print("最大值:", max_value)
print("最小值:", min_value)

答案：

根据上述解析，函数f(x)在区间[0, 2]上的最大值为2，最小值为-2。

结论

本文对清华数学讲座中的两个热门题目进行了深度解析，并揭晓了答案。通过以上解析，读者可以更深入地理解数学问题的解决方法，为今后的学习和研究提供参考。