引言
数学竞赛，作为一项考验选手逻辑思维、解题技巧和知识面的重要活动，吸引了无数热爱数学的青年才俊。本文将带您走进首届数学竞赛的现场，揭秘那些令人叹为观止的题目，以及选手们如何在这些智慧宝藏中挑战极限。
竞赛背景
首届数学竞赛在我国举办，旨在激发青少年对数学的兴趣，提高他们的数学素养，选拔优秀数学人才。此次竞赛吸引了来自全国各地的数千名选手参加，竞争激烈。
竞赛题库揭秘
1. 应用题
题目：一个长方体木块，长、宽、高分别为a、b、c，求证：\(V = abc\)。
解题思路：根据长方体的定义，其体积为长、宽、高的乘积。通过证明长方体的体积公式，可以锻炼选手对几何知识的掌握。
解答：
证明：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则长方体的体积V = a × b × c。
证明：$V = abc$
因此，长方体的体积公式成立。
2. 组合题
题目：有10个不同的球，放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个球，有多少种不同的放法？
解题思路：本题考察组合数学知识，通过分类讨论和组合数的计算，找出所有可能的放法。
解答：
解：
首先，将10个球分为5组，每组至少1个球，有以下几种情况：
1. 1个球，1个球，1个球，3个球，4个球
2. 1个球，1个球，2个球，2个球，4个球
3. 1个球，1个球，1个球，1个球，6个球
对于第一种情况，将5个球放入5个盒子中，有$C_5^5 = 1$种放法；
对于第二种情况，将5个球放入5个盒子中，有$C_5^2 \times C_3^2 = 15$种放法；
对于第三种情况，将5个球放入5个盒子中，有$C_5^3 = 10$种放法。
因此，总共有1 + 15 + 10 = 26种不同的放法。
3. 分析题
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求证：\(f(x)\)在实数范围内有唯一零点。
解题思路：本题考察函数的性质和零点存在性定理，通过求导和函数值的分析，证明\(f(x)\)在实数范围内有唯一零点。
解答：
证明：
首先，求函数$f(x)$的导数：$f'(x) = 3x^2 - 3$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。
当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
又因为$f(-1) = -3 + 3 + 1 = 1 > 0$，$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$。
根据零点存在性定理，函数$f(x)$在实数范围内有唯一零点。
证毕。
总结
首届数学竞赛为我国青少年提供了一个展示才华、挑战自我的平台。通过这些题目，我们不仅能够领略到数学的魅力，还能够锻炼自己的思维能力。相信在未来的日子里，会有更多热爱数学的年轻人加入这个大家庭，共同探索数学的奥秘。