引言
数学竞赛作为检验学生数学素养和思维能力的重要方式，一直受到广大师生的关注。一个丰富的题库对于备战数学竞赛至关重要。本文将为您精选一些具有代表性的数学竞赛难题，并对其进行详细的解析和答案解析，帮助您在竞赛中取得优异成绩。
一、精选难题解析
1. 难题一：数列求和
题目：已知数列{an}，其中an = n^2 + 1，求前n项和S_n。
解析：
首先，我们需要找到数列{an}的通项公式。根据题目给出的公式，我们有：
an = n^2 + 1
接下来，我们要求前n项和S_n。根据数列求和的公式，我们有：
S_n = a_1 + a_2 + … + a_n
将an的通项公式代入上式，得到：
S_n = (1^2 + 1) + (2^2 + 1) + … + (n^2 + 1)
为了方便计算，我们可以将上式进行变形：
S_n = (1^2 + 2^2 + … + n^2) + n
由等差数列求和公式可知：
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
将上述结果代入S_n的表达式中，得到：
S_n = n(n + 1)(2n + 1) / 6 + n
化简上式，得到：
S_n = (n^3 + 3n^2 + 2n) / 6 + n
S_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) / 6
因此，数列{an}的前n项和S_n为：
S_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) / 6
2. 难题二：平面几何证明
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)。求证：三角形ABC为等腰直角三角形。
解析：
首先，我们需要求出三角形ABC的三边长度。根据两点之间的距离公式，我们有：
AB = √[(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2] = √[4 + 4] = √8 = 2√2
BC = √[(5 - 3)^2 + (6 - 4)^2] = √[4 + 4] = √8 = 2√2
AC = √[(5 - 1)^2 + (6 - 2)^2] = √[16 + 16] = √32 = 4√2
由于AB = BC，我们可以得出结论：三角形ABC为等腰三角形。
接下来，我们需要证明三角形ABC为直角三角形。根据勾股定理，我们有：
AB^2 + BC^2 = AC^2
将AB和BC的长度代入上式，得到：
(2√2)^2 + (2√2)^2 = (4√2)^2
8 + 8 = 32
16 = 32
由于等式不成立，我们可以得出结论：三角形ABC不是直角三角形。
综上所述，三角形ABC为等腰三角形，但不是直角三角形。
二、答案解析
1. 答案一：数列求和
答案：数列{an}的前n项和S_n为S_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) / 6。
2. 答案二：平面几何证明
答案：三角形ABC为等腰三角形，但不是直角三角形。
结语
通过以上解析，我们不仅了解了数学竞赛中的经典难题，还学会了如何解决这些问题。希望本文能够帮助您在数学竞赛中取得优异成绩。祝您成功！