引言
同济大学的高等数学教材在我国高等教育中享有盛誉，其第五版教材更是深受广大师生的喜爱。本文将详细解析同济大学高等数学第五版习题的答案，帮助读者轻松掌握核心考点。
第一章 函数、极限与连续
1.1 函数
1.1.1 函数的定义域
主题句：函数的定义域是指函数可以取到的所有数值。
解答：例如，函数 \(f(x) = \sqrt{x}\) 的定义域为 \([0, +\infty)\)。
1.1.2 函数的值域
主题句：函数的值域是指函数所能取到的所有数值。
解答：例如，函数 \(f(x) = \sqrt{x}\) 的值域为 \([0, +\infty)\)。
1.2 极限
1.2.1 极限的定义
主题句：极限是描述函数在某一点附近变化趋势的数学概念。
解答：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 \(A\)，使得当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(A\)，则称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的极限。
1.2.2 极限的性质
主题句：极限具有线性、保号性、夹逼定理等性质。
解答：例如，设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，\(\lim_{x \to x_0} g(x) = B\)，则 \(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)。
1.3 连续
1.3.1 连续的定义
主题句：连续是描述函数在某一点附近变化趋势的数学概念。
解答：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。
1.3.2 连续的性质
主题句：连续具有线性、保号性、夹逼定理等性质。
解答：例如，设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上必有最大值和最小值。
第二章 导数与微分
2.1 导数的定义
2.1.1 导数的定义
主题句：导数是描述函数在某一点附近变化率的概念。
解答：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 \(A\)，使得当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，\(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) 趋近于 \(A\)，则称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数。
2.1.2 导数的性质
主题句：导数具有线性、保号性、夹逼定理等性质。
解答：例如，设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \((f(x) \cdot g(x))'\) = \(f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)。
2.2 微分
2.2.1 微分的定义
主题句：微分是导数的线性近似。
解答：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的微分 \(\mathrm{d}f(x)\) 为 \(\mathrm{d}f(x) = f'(x_0) \cdot \mathrm{d}x\)。
2.2.2 微分的性质
主题句：微分具有线性、保号性、夹逼定理等性质。
解答：例如，设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \((f(x) \cdot g(x))'\) = \(f'(x_0) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)。
第三章 导数的应用
3.1 洛必达法则
3.1.1 洛必达法则的定义
主题句：洛必达法则是一种求解不定式极限的方法。
解答：设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) 或 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty\)，且 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大，则 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)。
3.1.2 洛必达法则的应用
主题句：洛必达法则可以求解形如 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 的不定式极限。
解答：例如，求解 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的极限，可以使用洛必达法则：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1\]
3.2 泰勒公式
3.2.1 泰勒公式
主题句：泰勒公式是描述函数在某一点附近无限次可导的一种方法。
解答：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处 \(n\) 次可导，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的泰勒公式为：
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)\]
3.2.2 泰勒公式应用
主题句：泰勒公式可以求解函数在某一点的近似值。
解答：例如，使用泰勒公式求 \(f(x) = e^x\) 在 \(x = 0\) 处的近似值：
\[f(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x - 0)^n + o((x - 0)^n)\]
\[f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)\]
结语
通过以上对同济大学高等数学第五版习题答案的解析，相信读者已经对核心考点有了更深入的理解。希望本文能对读者的学习有所帮助。