数学，作为一门逻辑严谨的学科，不仅考验着学生的知识储备，更考验着他们的解题技巧和思维能力。潍坊小县城的期末试题中，出现了一些颇具挑战性的数学难题，以下是其中几道题目的详细解析，让我们一起来领略这些难题的魅力。

一、题目一：几何问题

题目描述：在一个正方形ABCD中，E是边AB上的一点，AE=2AB，F是边CD上的一点，CF=3CD。求证：EF是正方形ABCD的对角线。

解题步骤：

  1. 画出正方形ABCD，并标出E、F点。
  2. 由于AE=2AB，CF=3CD，可以得出AE=2CD。
  3. 连接EF，并延长EF交BC于点G。
  4. 由于ABCD是正方形，所以∠BCD=90°。
  5. 由AE=2CD，可得∠AEG=∠GCD。
  6. 由CF=3CD，可得∠GCF=∠GCD。
  7. 由步骤5和6，可得∠AEG=∠GCF。
  8. 由步骤3和7，可得∠AEG=∠GCF=∠GCD。
  9. 由步骤8，可得三角形AEG和三角形GCF是全等三角形。
  10. 由全等三角形的性质，可得EF=CG。
  11. 由于CG是正方形ABCD的对角线，所以EF也是正方形ABCD的对角线。

二、题目二：数列问题

题目描述：已知数列{an}，其中a1=2，an+1=an(an-1+1)，求第100项an。

解题步骤：

  1. 根据题目条件，列出数列的前几项：a1=2，a2=3，a3=5，a4=8，a5=13，…
  2. 观察数列的前几项，发现每一项都是前两项的和加1。
  3. 利用递推公式an+1=an(an-1+1)，计算第100项an。
  4. 通过编程或手工计算，得出第100项an的值。

三、题目三：概率问题

题目描述：从一副52张的扑克牌中，随机抽取4张牌，求这4张牌中至少有一张红桃的概率。

解题步骤：

  1. 计算所有可能的4张牌的组合数，即C(52,4)。
  2. 计算所有4张牌都是黑桃的组合数，即C(13,4)。
  3. 计算所有4张牌都是梅花、方块或红桃的组合数，即3C(13,4)。
  4. 计算所有4张牌中至少有一张红桃的组合数，即C(52,4) - 3C(13,4)。
  5. 计算概率，即所求组合数除以所有可能的组合数。

通过以上三道数学难题的解析，我们可以看到，数学不仅是一门学科，更是一种思维方式的体现。面对这些挑战，我们需要运用所学知识，发挥自己的智慧，才能找到解决问题的方法。