引言
数学，作为一门逻辑严谨、思维严密的学科，一直以来都是考验人类智慧和思维极限的重要工具。徐州三模数学试题，以其独特的题型和深度，成为了众多考生和数学爱好者的挑战对象。本文将深入解析徐州三模中的一道数学难题，带您领略数学之美，挑战思维极限。
难题展示
假设在一个平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，5）。现在，我们要找到一个点C，使得三角形ABC的面积最大。
解题思路
面积公式：三角形ABC的面积可以用底乘以高的一半来表示。在这个问题中，我们可以选择AB作为底，那么我们需要找到点C到AB的距离，即三角形ABC的高。
距离公式：点C到直线AB的距离可以通过点到直线的距离公式来计算。首先，我们需要找到直线AB的方程。
构造函数：为了找到使得三角形ABC面积最大的点C，我们可以构造一个关于点C坐标的函数，该函数表示三角形ABC的面积。
求导：通过对面积函数求导，我们可以找到函数的极值点，进而确定三角形ABC面积最大的点C。
详细解答
步骤一：求直线AB的方程
由于点A（2，3）和点B（4，5）在直线AB上，我们可以使用两点式直线方程来求解直线AB的方程：
[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) ]
代入点A和点B的坐标，得到：
[ y - 3 = \frac{5 - 3}{4 - 2} (x - 2) ] [ y - 3 = x - 2 ] [ y = x + 1 ]
所以，直线AB的方程为 ( y = x + 1 )。
步骤二：求点C到直线AB的距离
点C到直线AB的距离公式为：
[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} ]
其中，( ax + by + c = 0 ) 是直线的一般式方程，( (x_0, y_0) ) 是点C的坐标。
将直线AB的方程转换为一般式，得到：
[ x - y + 1 = 0 ]
假设点C的坐标为 ( (x, y) )，代入公式计算得到：
[ d = \frac{|x - y + 1|}{\sqrt{2}} ]
步骤三：构造面积函数
三角形ABC的面积 ( S ) 可以表示为：
[ S = \frac{1}{2} \times AB \times d ]
其中，AB是线段AB的长度，可以通过两点间的距离公式求得：
[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
代入点A和点B的坐标，得到：
[ AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2} ] [ AB = \sqrt{4 + 4} ] [ AB = \sqrt{8} ] [ AB = 2\sqrt{2} ]
所以，面积函数 ( S ) 为：
[ S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \frac{|x - y + 1|}{\sqrt{2}} ] [ S = |x - y + 1| ]
步骤四：求导并确定最大值
为了找到面积函数的最大值，我们需要对函数 ( S ) 求导，并找到导数为0的点。
[ S’ = \frac{d}{dx} |x - y + 1| ]
由于 ( |x - y + 1| ) 是一个绝对值函数，我们需要分情况讨论：
- 当 ( x - y + 1 \geq 0 ) 时，( S’ = 1 )；
- 当 ( x - y + 1 < 0 ) 时，( S’ = -1 )。
因此，我们需要找到使得 ( x - y + 1 = 0 ) 的点C，即：
[ x - y + 1 = 0 ] [ y = x + 1 ]
这意味着，当点C位于直线 ( y = x + 1 ) 上时，三角形ABC的面积达到最大值。
结论
通过上述步骤，我们成功找到了使得三角形ABC面积最大的点C，即点C位于直线 ( y = x + 1 ) 上。这个结果表明，在给定的条件下，三角形ABC的面积最大值为直线 ( y = x + 1 ) 上的任意一点到直线AB的距离的两倍。
这个问题的解答不仅展示了数学的严谨性和深度，还挑战了我们的思维极限。通过这道题目，我们可以更好地理解数学知识，提高我们的思维能力。