引言

反比例函数是高中数学中一个重要的知识点，它不仅涉及到函数的基本概念，还与几何、物理等多个领域有着密切的联系。在重庆的高考数学试卷中，反比例函数的题目常常以难题的形式出现，让不少学生感到困惑。本文将通过对重庆高考题库中精选的反比例函数难题进行解析，帮助同学们轻松掌握解题技巧。

反比例函数的基本概念

在开始解题之前，我们首先回顾一下反比例函数的基本概念。反比例函数的一般形式为 \(y = \frac{k}{x}\)（其中 \(k\) 为常数，且 \(k \neq 0\)）。反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线，其特点是在双曲线的每一支上，\(y\) 的值随 \(x\) 的增大而减小（或增大）。

题目解析

题目一：已知反比例函数 \(y = \frac{2}{x}\)，若点 \(P(x, y)\) 在该函数的图像上，求 \(x + y\) 的最小值。

解析：

  1. 将点 \(P(x, y)\) 代入反比例函数，得到 \(y = \frac{2}{x}\)。
  2. 将 \(y\) 的表达式代入 \(x + y\)，得到 \(x + \frac{2}{x}\)。
  3. 为了求 \(x + \frac{2}{x}\) 的最小值，我们可以利用基本不等式（算术平均数大于等于几何平均数）。
  4. 由基本不等式，我们有 \(x + \frac{2}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{2}{x}} = 2\sqrt{2}\)。
  5. 当且仅当 \(x = \frac{2}{x}\) 时，等号成立，即 \(x = \sqrt{2}\)。
  6. 因此，\(x + y\) 的最小值为 \(2\sqrt{2}\)。

题目二：已知反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k > 0\)）的图像与直线 \(y = x + 1\) 相交于点 \(A\) 和 \(B\)，求 \(k\) 的值。

解析：

  1. 将直线 \(y = x + 1\) 代入反比例函数，得到 \(\frac{k}{x} = x + 1\)。
  2. 整理得到 \(x^2 + x - k = 0\)。
  3. 由于 \(A\) 和 \(B\) 是函数图像与直线的交点，所以 \(x^2 + x - k = 0\) 有两个实数解。
  4. 根据韦达定理，我们有 \(x_1 + x_2 = -1\)，\(x_1 \cdot x_2 = -k\)。
  5. 由于 \(k > 0\)，所以 \(x_1 \cdot x_2 < 0\)，即 \(x_1\) 和 \(x_2\) 一正一负。
  6. 由于 \(x_1 + x_2 = -1\)，所以 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的绝对值相等。
  7. 设 \(x_1 = a\)，则 \(x_2 = -a\)，代入 \(x_1 \cdot x_2 = -k\) 得到 \(a \cdot (-a) = -k\)，即 \(k = a^2\)。
  8. 由于 \(x_1 + x_2 = -1\)，所以 \(2a = -1\)，即 \(a = -\frac{1}{2}\)。
  9. 因此，\(k = a^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)。

总结

通过对以上两道反比例函数难题的解析，我们可以看出，解决这类问题的关键在于熟练掌握反比例函数的基本概念和性质，以及灵活运用基本不等式、韦达定理等数学工具。希望本文的解析能够帮助同学们在高考中轻松应对反比例函数的难题。