线性代数是高等数学的重要组成部分，它涉及到向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量等概念。掌握线性代数的公式对于理解和解决高等数学中的问题至关重要。本文将详细总结线性代数中的一些核心公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、向量和矩阵基础
1. 向量运算
- 向量加法：(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n))
- 向量减法：(\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \ldots, a_n - b_n))
- 向量数乘：(k\vec{a} = (ka_1, ka_2, \ldots, ka_n))
2. 矩阵运算
- 矩阵加法：(A + B = [a{ij} + b{ij}]_{m \times n})
- 矩阵减法：(A - B = [a{ij} - b{ij}]_{m \times n})
- 矩阵数乘：(kA = [ka{ij}]{m \times n})
- 矩阵乘法：((AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a{ik}b{kj})
二、行列式
1. 行列式定义
- ( \det(A) = \sum_{\sigma \in Sn} \operatorname{sgn}(\sigma) a{1\sigma(1)} a{2\sigma(2)} \ldots a{n\sigma(n)} )
2. 行列式性质
- 行列式的值不变性：行列式在不同行（列）交换后，其值变号。
- 行列式的展开定理：( \det(A) = \sum{j=1}^n (-1)^{i+j} a{ij} \det(A_{ij}) )
三、矩阵的秩和逆矩阵
1. 矩阵的秩
- 矩阵的秩：矩阵中非零行（列）的最大数目。
2. 逆矩阵
- 逆矩阵存在条件：矩阵是可逆的，当且仅当其行列式不为零。
- 逆矩阵计算：( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) )，其中 (\text{adj}(A)) 是伴随矩阵。
四、特征值和特征向量
1. 特征值和特征向量定义
- 特征值：( \lambda ) 是矩阵 ( A ) 的一个特征值，当且仅当存在非零向量 ( \vec{v} ) 使得 ( A\vec{v} = \lambda\vec{v} )。
- 特征向量：满足 ( A\vec{v} = \lambda\vec{v} ) 的非零向量 ( \vec{v} )。
2. 特征值和特征向量计算
- 特征值：求解方程 ( \det(A - \lambda I) = 0 )。
- 特征向量：将特征值代入方程 ( (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} ) 求解。
五、线性方程组
1. 线性方程组解法
- 行列式法：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解。
- 高斯消元法：通过初等行变换将方程组转化为阶梯形矩阵，然后求解。
2. 线性方程组解的性质
- 无解：当系数矩阵的行列式为零，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时。
- 有限解：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解。
- 无穷多解：当系数矩阵的行列式为零，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时。
通过以上对线性代数公式的总结，读者可以更好地理解和应用这些公式，为解决高等数学中的问题打下坚实的基础。