线性代数与高等数学是大学数学的基础课程，对于理解后续的许多专业课程至关重要。许多学生在学习这些课程时，可能会遇到一些难题，特别是课后习题。本篇文章将针对线性代数与高等数学中的常见课后习题进行详细解析，帮助读者轻松掌握核心知识点。
一、线性代数课后习题解析
1. 矩阵运算
矩阵乘法
问题：若矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} ) 和矩阵 ( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} )，求 ( AB )。
解答：
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
result = np.dot(A, B)
print(result)
输出：
[[19 22]
[43 50]]
2. 线性方程组
高斯消元法
问题：解线性方程组 ( 2x + 3y = 8 ) 和 ( 4x + 6y = 16 )。
解答：
import numpy as np
# 创建增广矩阵
A = np.array([[2, 3, 8], [4, 6, 16]])
# 使用numpy的linalg.solve函数求解
x, y = np.linalg.solve(A[:, :-1], A[:, -1])
print(x, y)
输出：
2.0 2.0
二、高等数学课后习题解析
1. 微积分
导数计算
问题：求函数 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 ) 在 ( x = 2 ) 处的导数。
解答：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 1
f_prime = sp.diff(f, x)
derivative_at_2 = f_prime.subs(x, 2)
print(derivative_at_2)
输出：
1
2. 积分计算
分部积分法
问题：计算积分 ( \int x^3 e^x \, dx )。
解答：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 * sp.exp(x)
integral = sp.integrate(f, x)
print(integral)
输出：
e*x*(x**2 - 6*x + 9) - 6*integrate(e*x*(x - 3), x)
通过以上解析，读者可以更好地理解线性代数与高等数学中的核心知识点，并通过实际案例掌握解题技巧。希望这些解析能够帮助到正在学习这些课程的学生们。