数学作为一门逻辑严谨的学科，其解题技巧和解题策略往往能帮助学生更好地理解数学概念，提升解题能力。本文将针对2015年全国高考数学试卷中的难题进行解析，并揭秘相应的解题技巧。

一、选择题难题解析

难题示例：

题目：设函数\(f(x) = \sin x + \frac{1}{x} + 1\)，求证：当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)。

解析：

  1. 首先，观察函数\(f(x)\)的结构，发现其为正弦函数与有理函数的和。
  2. 对于\(\sin x\)，由于\(x > 0\)，\(\sin x\)的值域为\([-1, 1]\)。
  3. 对于\(\frac{1}{x}\)，由于\(x > 0\)，\(\frac{1}{x} > 0\)。
  4. 综合以上两点，\(f(x) = \sin x + \frac{1}{x} + 1 > 0\)。

解题技巧：

  • 对于选择题，首先要审题，明确题目要求。
  • 通过观察函数结构，找出解题的切入点。
  • 利用函数性质，如值域、定义域等，进行判断。

二、填空题难题解析

难题示例：

题目：已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，若\(a_1 + a_2 + a_3 = 9\)，\(a_4 + a_5 + a_6 = 21\)，求\(a_1 + a_6\)的值。

解析：

  1. 根据等差数列的定义，有\(a_2 = a_1 + d\)，\(a_3 = a_1 + 2d\)，\(a_4 = a_1 + 3d\)，\(a_5 = a_1 + 4d\)，\(a_6 = a_1 + 5d\)。
  2. 根据题意，得到方程组： $\( \begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 = 9 \\ a_4 + a_5 + a_6 = 21 \end{cases} \)$
  3. 将等差数列的定义代入方程组，解得\(a_1 = 1\)，\(d = 2\)。
  4. 因此，\(a_6 = a_1 + 5d = 11\)，\(a_1 + a_6 = 12\)。

解题技巧：

  • 对于填空题，要熟练掌握等差数列的定义和性质。
  • 通过代入已知条件，建立方程组，求解未知数。

三、解答题难题解析

难题示例：

题目：已知函数\(f(x) = \ln x - \frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)的极值。

解析：

  1. 首先求\(f(x)\)的导数：\(f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\)。
  2. 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)。
  3. 当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(0 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)。
  4. 因此，\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得极小值，\(f(1) = \ln 1 - \frac{1}{1} = -1\)。

解题技巧：

  • 对于解答题，要熟练掌握导数的计算和运用。
  • 通过求导数，分析函数的极值和最值。

四、总结

2015年全国高考数学试卷中的难题，既考验了学生的基础知识，又考察了学生的解题技巧。通过对这些难题的解析，我们可以了解到，解题的关键在于审题、分析题目结构、运用相关性质和定理。希望本文的解析和技巧揭秘能对广大考生有所帮助。