一、选择题解析
题目1：已知函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，求\(f(x)\)的对称轴。
答案： 对称轴为\(x=2\)。
解析： 这是一个二次函数，其标准形式为\(f(x) = ax^2 + bx + c\)。二次函数的对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。在本题中，\(a=1\)，\(b=-4\)，代入公式得\(x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2\)。
二、填空题解析
题目2：若等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(2\)，公差为\(3\)，则第\(10\)项\(a_{10}\)的值为多少？
答案： \(a_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 29\)。
解析： 等差数列的通项公式为\(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中\(a_1\)是首项，\(d\)是公差。根据题目，首项\(a_1 = 2\)，公差\(d = 3\)，代入公式计算得第\(10\)项的值。
三、解答题解析
题目3：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的定义域。
答案： 定义域为\(x > 0\)。
解析： 函数\(f(x)\)由两部分组成，\(\frac{1}{x}\)和\(\sqrt{x}\)。\(\frac{1}{x}\)要求\(x \neq 0\)，\(\sqrt{x}\)要求\(x \geq 0\)。因此，\(f(x)\)的定义域是\(x > 0\)。
题目4：解不等式\(\sqrt{3x - 1} < 2\)。
答案： 解集为\(x \in (1, 3)\)。
解析： 首先移项得\(\sqrt{3x - 1} - 2 < 0\)。然后平方两边得\(3x - 1 - 4\sqrt{3x - 1} + 4 < 0\)。化简得\(3x - 4\sqrt{3x - 1} + 3 < 0\)。设\(y = \sqrt{3x - 1}\)，则不等式变为\(3y^2 - 4y + 3 < 0\)。解这个一元二次不等式，得到\(y \in (\frac{1}{3}, 1)\)。回代\(y = \sqrt{3x - 1}\)，得到\(x \in (1, 3)\)。
四、综合题解析
题目5：已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，且\(a_1 = 2\)，\(a_3 = 8\)，求该数列的前\(10\)项和\(S_{10}\)。
答案： 公比\(q = 2\)，前\(10\)项和\(S_{10} = 2046\)。
解析： 等比数列的通项公式为\(a_n = a_1 \times q^{n-1}\)。由\(a_1 = 2\)和\(a_3 = 8\)，可以求出公比\(q = \sqrt[2]{\frac{a_3}{a_1}} = \sqrt[2]{4} = 2\)。等比数列的前\(n\)项和公式为\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)。代入\(a_1 = 2\)，\(q = 2\)，\(n = 10\)，计算得\(S_{10} = \frac{2(1 - 2^{10})}{1 - 2} = 2046\)。
以上是对兰州市一诊数学试题的详细解析及答案，希望对同学们的学习有所帮助。