迈克尔逊实验数据处理详解与误差分析指南

引言：迈克尔逊干涉仪实验的重要性

迈克尔逊干涉仪实验是物理学史上具有里程碑意义的经典实验，最初由阿尔伯特·迈克尔逊和爱德华·莫雷于1887年进行，旨在探测“以太风”的存在。尽管实验结果否定了以太理论，为爱因斯坦的狭义相对论奠定了基础，但该实验本身在光学测量、精密计量和波长测定等领域仍然具有极其重要的应用价值。

在现代物理实验教学中，迈克尔逊干涉仪实验通常用于测量激光波长、折射率或微小位移。然而，许多学生在实验后面对数据处理和误差分析时感到困惑。本文将详细讲解如何处理迈克尔逊干涉仪的实验数据，包括基本原理、数据记录、计算方法以及全面的误差分析，帮助你准确、高效地完成实验报告。

一、实验原理回顾

1.1 迈克尔逊干涉仪的基本结构

迈克尔逊干涉仪主要由以下几部分组成：

光源：通常使用氦氖激光器（He-Ne激光，波长632.8nm）或钠光灯。
分束镜：将入射光分成两束，分别射向动镜和定镜。
动镜（M1）：可以沿导轨精确移动的反射镜，移动距离可读数。
定镜（M2）：固定位置的反射镜。
补偿板：用于补偿两束光在玻璃中走过的光程差。
观察屏/探测器：用于观察干涉条纹或记录光强变化。

1.2 干涉条纹的形成原理

当动镜M1移动距离Δd时，两束光的光程差变化为2Δd（因为光往返一次）。当光程差等于半波长的偶数倍时，发生相长干涉（亮纹）；等于半波长的奇数倍时，发生相消干涉（暗纹）。因此，每当动镜移动Δd = λ/2时，干涉条纹就会移动一个周期（例如，一个亮纹到下一个亮纹）。

公式： $$ \Delta d = N \cdot \frac{\lambda}{2} $$ 其中：

Δd：动镜移动的距离
N：条纹变化的数目（整数或小数）
λ：光源波长

1.3 实验中测量波长的方法

在实验中，我们通常通过测量动镜移动一定距离Δd时对应的条纹变化数N，来计算波长λ： $$ \lambda = \frac{2\Delta d}{N} $$

2. 实验数据记录与初步整理

2.1 数据记录表格设计

为了准确记录数据，建议使用以下表格格式：

测量次数	动镜初始位置 d0 (mm)	动镜末位置 d1 (mm)	移动距离 Δd = d1 - d0 (mm)	条纹变化数 N	计算波长 λ (nm)
1
2
…

注意：

动镜位置读数通常精确到0.0001mm（即1微米）。
条纹变化数N应通过计数器或通过条纹“冒出”或“吞进”的数量来记录。建议计数时采用“粗调”和“细调”结合，避免漏计或多计。
为了减小误差，通常进行多次测量（如5-10次），每次移动距离Δd可以不同（例如，每次移动0.2mm，记录N值）。

2.2 数据记录示例

假设我们使用氦氖激光（理论波长632.8nm）进行实验，记录以下数据：

测量次数	初始位置 d0 (mm)	末位置 d1 (mm)	移动距离 Δd (mm)	条纹变化数 N	计算波长 λ (nm)
1	10.0000	10.2000	0.2000	631	633.9
2	10.2000	10.4000	0.2000	632	632.9
3	10.4000	10.6000	0.2000	633	631.9
4	10.6000	10.8000	0.2000	632	632.9
5	10.8000	11.0000	0.2000	632	632.9

说明：

以上数据为模拟数据，实际实验中条纹数N可能更大（例如，移动0.2mm时，N约为631左右，因为λ≈632.8nm，N = 2Δd/λ = 2*0.2mm/632.8e-6mm ≈ 632）。
计算波长时，使用公式 λ = 2Δd / N。

3. 数据处理方法详解

3.1 单次测量计算

对于每次测量，直接使用公式计算波长： $$ \lambda_i = \frac{2 \Delta d_i}{N_i} $$

示例计算（以第一次测量为例）：

Δd = 0.2000 mm = 200,000 nm
N = 631
λ = 2 * 200,000 nm / 631 ≈ 633.9 nm

3.2 多次测量求平均值

为了减小随机误差，通常计算多次测量的平均波长： $$ \bar{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda_i $$

示例计算：

λ1 = 633.9 nm, λ2 = 632.9 nm, λ3 = 631.9 nm, λ4 = 632.9 nm, λ5 = 632.9 nm
平均值 = (633.9 + 632.9 + 1631.9 + 632.9 + 632.9) / 5 = 632.9 nm

3.3 标准偏差与不确定度计算

3.3.1 A类不确定度（统计不确定度）

A类不确定度由测量数据的统计分散性引起，计算公式为： $$ u_A(\lambda) = \frac{s(\lambda)}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (\lambda_i - \bar{\lambda})^2}{n(n-1)}} $$ 其中s(λ)是单次测量的标准偏差。

示例计算：

计算各λ_i与平均值的偏差：
- (633.9 - 632.9) = 1.0
- (632.9 - 362.9) = 0.0
- (631.9 - 632.9) = -1.0
- (632.9 - 632.9) = 0.0
- (632.9 - 632.9) = 0.0
偏差平方和 = 1.0² + 0.0² + (-1.0)² + 0.0² + 0.0² = 2.0
标准偏差 s = sqrt(2.0 / (5-1)) = sqrt(0.5) ≈ 0.707 nm
A类不确定度 u_A = s / sqrt(5) ≈ 0.707 / 2.236 ≈ 0.316 nm

3.3.2 B类不确定度（仪器不确定度）

B类不确定度由仪器的精度和校准引起。对于迈克尔逊干涉仪，主要考虑：

动镜位置读数误差：通常由螺旋测微器的精度决定，假设为0.0001mm（100nm）。
条纹计数误差：通常估计为±0.5条（因为人眼判断条纹移动的极限）。

计算公式：

位置读数误差引起的波长不确定度：由于Δd = d1 - d0，每个位置读数误差为δd，则Δd的误差为√2 * δd。假设δd = 0.0001mm = 100nm，则Δd的误差为√2 * 100nm ≈ 141nm。这个误差传递到波长计算中： $$ u_B(\lambda)_{\text{pos}} = \frac{2}{N} \cdot \sqrt{2} \cdot \deltad $$ 但更直接的方法是考虑相对误差：对于Δd=0.2mm，误差为0.000141mm，相对误差为0.000141/0.2=0.000705，波长误差为λ*0.000705≈0.447nm（以λ=632.8nm计）。
条纹计数误差：假设δN = 0.5，则波长误差为： $$ u_B(\lambda)_{\text{N}} = \frac{2\Deltad}{N^2} \cdot \deltaN = \frac{\lambda}{N} \cdot \deltaN $$ 代入数值：λ/N ≈ 632.⁸⁄₆₃₂ ≈ 1.001，乘以0.5 ≈ 0.500 nm。

合成B类不确定度： $$ u_B(\lambda) = \sqrt{ (u_B(\lambda)_{\text{pos}})^2 + (u_B(\lambda)_{\text{N}})^2 } = \sqrt{0.447^2 + 0.500^2} ≈ 0.670 nm $$

3.3.3 合成标准不确定度

合成标准不确定度为A类和B类不确定度的方和根： $$ u_c(\lambda) = \sqrt{ u_A(\lambda)^2 + u_B(\lambda)^2 } = \u_B(\lambda) = \sqrt{0.316^2 + 0.670^2} ≈ 0.741 nm $$

3.4 最终结果表达

最终测量结果应表示为： $$ \lambda = \bar{\lambda} \pm u_c(\lambda) $$ 并注明置信概率（通常为95%）。对于正态分布，扩展不确定度U = k * u_c，其中k=2（对应95%置信水平）。

示例： $$ \lambda = (632.9 \pm 1.48) \text{ nm} \quad (k=2, P=95\%) $$

4. 误差分析指南

4.1 误差来源分类

误差来源可分为系统误差和随机误差：

4.1.1 系统误差

仪器校准误差：干涉仪导轨的直线度、分束镜的均匀性等。
环境因素：温度变化导致导轨热胀冷缩，空气流动引起光程变化。
光源波长稳定性：激光器的波长可能随温度和时间漂移。
补偿板未完全补偿：如果补偿板厚度或角度不匹配，会引入附加光程差。

4.1.2 随机误差

读数误差：动镜位置读数时的估读误差。
条纹计数误差：人眼判断条纹移动的主观误差。
环境扰动：实验台的微小振动、空气湍流。
电源波动：激光器电源不稳定导致光强波动，影响条纹清晰度。

4.2 误差减小方法

4.2.1 系统误差修正

温度补偿：记录实验前后温度，计算导轨长度变化并修正Δd。
- 铝导轨膨胀系数α ≈ 23×10⁻⁶ /°C，若温度变化2°C，导轨长200mm，则ΔL = 200mm * 23e-6 * 2 ≈ 9.2μm，相对误差0.0046%，波长误差约0.029nm（可忽略）。
激光波长校准：使用已知波长的标准光源（如汞灯）校准激光波长。
导轨直线度校准：使用自准直仪检查导轨直线度，若偏差大则需修正数据。

4.2.2 随机误差减小

多次测量：增加测量次数n，可减小A类不确定度（与√n成反比）。
条纹计数技巧：
- 使用“计数器”或手机慢动作录像辅助计数。
- 采用“差值法”：先计数大移动距离的条纹数，再计数小移动距离的，差值法减小误差。
环境控制：关闭空调、风扇，避免人员走动，使用防震台。
读数技巧：使用游标或微分鼓轮，每次读数前消除空程差（先向一个方向移动，再反向移动到读数位置）。

4.3 误差传递分析

在波长计算中，误差从Δd和N传递到λ： $$ \lambda = \frac{2\Deltad}{N} $$ 相对误差： $$ \frac{\delta\lambda}{\lambda} = \sqrt{ \left(\frac{\delta\Deltad}{\Deltad}\right)^2 + \left(\frac{\deltaN}{N}\right)^2 } $$

示例：

δΔd = 0.000141mm, Δd=0.2mm → 相对误差0.0705%
δN = 0.5, N=632 → 相对误差0.0791%
总相对误差 = sqrt(0.0705² + 0.0791²) ≈ 0.106%
δλ = 632.8nm * 0.106% ≈ 0.67nm，与之前计算一致。

5. 编程辅助数据处理

5.1 Python代码示例：数据处理与不确定度计算

以下Python代码可用于自动计算波长、平均值、不确定度，并绘制误差棒图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as1. **数据输入**：将实验数据输入到列表中。
2. **计算波长**：遍历每组数据，计算λ_i。
3. **计算统计量**：平均值、标准偏差、A类不确定度。
4. **计算B类不确定度**：根据仪器精度估计。
5. **合成不确定度**：计算合成标准不确定度和扩展不确定度。
6. **输出结果**：打印最终结果和误差分析。
7. **绘图**：绘制波长测量值及其误差棒。

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 实验数据：每次测量的Δd (mm) 和 N
# 示例数据：Δd=0.2mm, N值列表
delta_d_mm = np.array([0.2000, 0.2000, 0.2000, 0.2000, 0.2000])  # 单位mm
N_list = np.array([631, 632, 633, 632, 632])

# 转换为nm：1 mm = 1e6 nm
delta_d_nm = delta_d_mm * 1e6

# 计算每次测量的波长 (nm)
lambda_i = 2 * delta_d_nm / N_list

# 计算平均波长
lambda_mean = np.mean(lambda_i)

# 计算A类不确定度
n = len(lambda_i)
std_dev = np.std(lambda_i, ddof=1)  # 样本标准偏差
u_A = std_dev / np.sqrt(n)

# B类不确定度：仪器误差
# 位置读数误差：假设δd = 0.0001 mm = 100 nm
delta_d_error = 0.0001 * 1e6  # nm
# Δd的误差：由于d0和d1各有一个误差，合成误差为√2 * δd
delta_d_total_error = np.sqrt(2) * delta_d_error
# 传递到波长：u_B_pos = (2/N) * delta_d_total_error
u_B_pos = (2 / np.mean(N_list)) * delta_d_total_error

# 条纹计数误差：假设δN = 0.5
delta_N = 0.5
u_B_N = (2 * np.mean(delta_d_nm) / (np.mean(N_list)**2)) * delta_N

# 合成B类不确定度
u_B = np.sqrt(u_B_pos**2 + u_B_N**2)

# 合成标准不确定度
u_c = np.sqrt(u_A**2 + u_B**2)

# 扩展不确定度 (k=2, 95%置信水平)
U = 2 * u_c

# 输出结果
print(f"平均波长: {lambda_mean:.2f} nm")
print(f"A类不确定度: {u_A:.2f} nm")
print(f"B类不确定度: {u_B:.2f} nm")
print(f"合成标准不确定度: {u_c:.2f} nm")
print(f"扩展不确定度 (k=2): {U:.2f} nm")
print(f"最终结果: λ = ({lambda_mean:.2f} ± {U:.2f}) nm (k=2, P=95%)")

# 绘制误差棒图
measurements = np.arange(1, n+1)
plt.errorbar(measurements, lambda_i, yerr=np.full(n, u_c), fmt='o', capsize=5, label='测量值 ± u_c')
plt.axhline(y=lambda_mean, color='r', linestyle='--', label=f'平均值: {lambda_mean:.2f} nm')
plt.xlabel('测量次数')
plt.ylabel('波长 (nm)')
plt.title('迈克尔逊干涉仪波长测量结果')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

代码说明：

输入：delta_d_mm 和 N_list 是实验数据，需替换为实际值。
计算：代码自动计算每次波长、平均值、不确定度。
B类不确定度：详细分解了位置读数和条纹计数误差。
输出：打印清晰的数值结果。
绘图：使用matplotlib绘制误差棒图，直观展示数据分散性和平均值。

5.2 代码运行示例

假设运行上述代码，输出可能如下：

平均波长: 632.90 nm
A类不确定度: 0.32 nm
B类不确定度: 0.67 nm
合成标准不确定度: 0.74 nm
扩展不确定度 (k=2): 1.48 nm
最终结果: λ = (632.90 ± 1.48) nm (k=2, 95%)

6. 常见问题与解答

Q1: 条纹计数时容易出错，有什么技巧？

使用计数器或手机慢动作录像回放计数。
采用“差值法”：例如，先移动0.5mm计数N1，再移动0.1mm计数N2，则0.1mm对应的条纹数为N1 - N2（需调整），这样可以减小计数误差。
计数时眼睛紧贴观察屏，避免环境光干扰。

Q2: 如何判断条纹是否“冒出”或“吞进”？

A: 当动镜向分束镜移动时（光程差减小），条纹会从中心“冒出”；远离时，条纹会向中心“吞进”。计数时以中心亮斑为参考，记录完整周期。

Q3: 实验中发现波长测量值偏差较大，可能原因？

激光波长不准确（如使用650nm红光激光笔代替He-Ne激光）。
补偿板未正确插入光路。
动镜移动方向与读数方向不一致（空程差）。
温度变化大导致导轨膨胀。

Q4: 如何用钠光灯（双线波长）做实验？

A: 钠光灯有两条相近波长（589.0nm和589.6nm），会产生拍频现象，条纹会周期性模糊。此时需测量模糊周期对应的移动距离，计算平均波长或分别拟合。数据处理更复杂，建议使用激光。

7. 总结

迈克尔逊干涉仪实验是精密测量的典范，数据处理的关键在于准确记录Δd和N，并正确计算不确定度。通过多次测量减小随机误差，通过环境控制和仪器校准减小系统误差。使用编程工具（如Python）可以自动化计算和可视化，提高效率。记住，误差分析不是为了追求完美，而是为了量化测量的可靠性。希望本指南能帮助你顺利完成实验报告！

参考文献：

迈克尔逊干涉仪实验讲义（各高校物理实验中心）。
《物理实验数据处理与误差分析》，科学出版社。
ISO/IEC Guide 98-3:2008 (GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)。

注意：实际实验中，请根据所用仪器的具体参数（如读数精度、导轨材料）调整误差估计值。# 迈克尔逊实验数据处理详解与误差分析指南

引言：迈克尔逊干涉仪实验的重要性

一、实验原理回顾

1.1 迈克尔逊干涉仪的基本结构

迈克尔逊干涉仪主要由以下几部分组成：

光源：通常使用氦氖激光器（He-Ne激光，波长632.8nm）或钠光灯。
分束镜：将入射光分成两束，分别射向动镜和定镜。
动镜（M1）：可以沿导轨精确移动的反射镜，移动距离可读数。
定镜（M2）：固定位置的反射镜。
补偿板：用于补偿两束光在玻璃中走过的光程差。
观察屏/探测器：用于观察干涉条纹或记录光强变化。

1.2 干涉条纹的形成原理

公式： $$ \Delta d = N \cdot \frac{\lambda}{2} $$ 其中：

Δd：动镜移动的距离
N：条纹变化的数目（整数或小数）
λ：光源波长

1.3 实验中测量波长的方法

在实验中，我们通常通过测量动镜移动一定距离Δd时对应的条纹变化数N，来计算波长λ： $$ \lambda = \frac{2\Delta d}{N} $$

2. 实验数据记录与初步整理

2.1 数据记录表格设计

为了准确记录数据，建议使用以下表格格式：

测量次数	动镜初始位置 d0 (mm)	动镜末位置 d1 (mm)	移动距离 Δd = d1 - d0 (mm)	条纹变化数 N	计算波长 λ (nm)
1
2
…

注意：

动镜位置读数通常精确到0.0001mm（即1微米）。
条纹变化数N应通过计数器或通过条纹“冒出”或“吞进”的数量来记录。建议计数时采用“粗调”和“细调”结合，避免漏计或多计。
为了减小误差，通常进行多次测量（如5-10次），每次移动距离Δd可以不同（例如，每次移动0.2mm，记录N值）。

2.2 数据记录示例

假设我们使用氦氖激光（理论波长632.8nm）进行实验，记录以下数据：

测量次数	初始位置 d0 (mm)	末位置 d1 (mm)	移动距离 Δd (mm)	条纹变化数 N	计算波长 λ (nm)
1	10.0000	10.2000	0.2000	631	633.9
2	10.2000	10.4000	0.2000	632	632.9
3	10.4000	10.6000	0.2000	633	631.9
4	10.6000	10.8000	0.2000	632	632.9
5	10.8000	11.0000	0.2000	632	632.9

说明：

以上数据为模拟数据，实际实验中条纹数N可能更大（例如，移动0.2mm时，N约为631左右，因为λ≈632.8nm，N = 2Δd/λ = 2*0.2mm/632.8e-6mm ≈ 632）。
计算波长时，使用公式 λ = 2Δd / N。

3. 数据处理方法详解

3.1 单次测量计算

对于每次测量，直接使用公式计算波长： $$ \lambda_i = \frac{2 \Delta d_i}{N_i} $$

示例计算（以第一次测量为例）：

Δd = 0.2000 mm = 200,000 nm
N = 631
λ = 2 * 200,000 nm / 631 ≈ 633.9 nm

3.2 多次测量求平均值

为了减小随机误差，通常计算多次测量的平均波长： $$ \bar{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda_i $$

示例计算：

λ1 = 633.9 nm, λ2 = 632.9 nm, λ3 = 631.9 nm, λ4 = 632.9 nm, λ5 = 632.9 nm
平均值 = (633.9 + 632.9 + 1631.9 + 632.9 + 632.9) / 5 = 632.9 nm

3.3 标准偏差与不确定度计算

3.3.1 A类不确定度（统计不确定度）

示例计算：

计算各λ_i与平均值的偏差：
- (633.9 - 632.9) = 1.0
- (632.9 - 362.9) = 0.0
- (631.9 - 632.9) = -1.0
- (632.9 - 632.9) = 0.0
- (632.9 - 632.9) = 0.0
偏差平方和 = 1.0² + 0.0² + (-1.0)² + 0.0² + 0.0² = 2.0
标准偏差 s = sqrt(2.0 / (5-1)) = sqrt(0.5) ≈ 0.707 nm
A类不确定度 u_A = s / sqrt(5) ≈ 0.707 / 2.236 ≈ 0.316 nm

3.3.2 B类不确定度（仪器不确定度）

B类不确定度由仪器的精度和校准引起。对于迈克尔逊干涉仪，主要考虑：

动镜位置读数误差：通常由螺旋测微器的精度决定，假设为0.0001mm（100nm）。
条纹计数误差：通常估计为±0.5条（因为人眼判断条纹移动的极限）。

计算公式：

位置读数误差引起的波长不确定度：由于Δd = d1 - d0，每个位置读数误差为δd，则Δd的误差为√2 * δd。假设δd = 0.0001mm = 100nm，则Δd的误差为√2 * 100nm ≈ 141nm。这个误差传递到波长计算中： $$ u_B(\lambda)_{\text{pos}} = \frac{2}{N} \cdot \sqrt{2} \cdot \deltad $$ 但更直接的方法是考虑相对误差：对于Δd=0.2mm，误差为0.000141mm，相对误差为0.000141/0.2=0.000705，波长误差为λ*0.000705≈0.447nm（以λ=632.8nm计）。
条纹计数误差：假设δN = 0.5，则波长误差为： $$ u_B(\lambda)_{\text{N}} = \frac{2\Deltad}{N^2} \cdot \deltaN = \frac{\lambda}{N} \cdot \deltaN $$ 代入数值：λ/N ≈ 632.⁸⁄₆₃₂ ≈ 1.001，乘以0.5 ≈ 0.500 nm。

合成B类不确定度： $$ u_B(\lambda) = \sqrt{ (u_B(\lambda)_{\text{pos}})^2 + (u_B(\lambda)_{\text{N}})^2 } = \sqrt{0.447^2 + 0.500^2} ≈ 0.670 nm $$

3.3.3 合成标准不确定度

合成标准不确定度为A类和B类不确定度的方和根： $$ u_c(\lambda) = \sqrt{ u_A(\lambda)^2 + u_B(\lambda)^2 } = \u_B(\lambda) = \sqrt{0.316^2 + 0.670^2} ≈ 0.741 nm $$

3.4 最终结果表达

示例： $$ \lambda = (632.9 \pm 1.48) \text{ nm} \quad (k=2, P=95\%) $$

4. 误差分析指南

4.1 误差来源分类

误差来源可分为系统误差和随机误差：

4.1.1 系统误差

仪器校准误差：干涉仪导轨的直线度、分束镜的均匀性等。
环境因素：温度变化导致导轨热胀冷缩，空气流动引起光程变化。
光源波长稳定性：激光器的波长可能随温度和时间漂移。
补偿板未完全补偿：如果补偿板厚度或角度不匹配，会引入附加光程差。

4.1.2 随机误差

读数误差：动镜位置读数时的估读误差。
条纹计数误差：人眼判断条纹移动的主观误差。
环境扰动：实验台的微小振动、空气湍流。
电源波动：激光器电源不稳定导致光强波动，影响条纹清晰度。

4.2 误差减小方法

4.2.1 系统误差修正

温度补偿：记录实验前后温度，计算导轨长度变化并修正Δd。
- 铝导轨膨胀系数α ≈ 23×10⁻⁶ /°C，若温度变化2°C，导轨长200mm，则ΔL = 200mm * 23e-6 * 2 ≈ 9.2μm，相对误差0.0046%，波长误差约0.029nm（可忽略）。
激光波长校准：使用已知波长的标准光源（如汞灯）校准激光波长。
导轨直线度校准：使用自准直仪检查导轨直线度，若偏差大则需修正数据。

4.2.2 随机误差减小

多次测量：增加测量次数n，可减小A类不确定度（与√n成反比）。
条纹计数技巧：
- 使用“计数器”或手机慢动作录像辅助计数。
- 采用“差值法”：先计数大移动距离的条纹数，再计数小移动距离的，差值法减小误差。
环境控制：关闭空调、风扇，避免人员走动，使用防震台。
读数技巧：使用游标或微分鼓轮，每次读数前消除空程差（先向一个方向移动，再反向移动到读数位置）。

4.3 误差传递分析

示例：

δΔd = 0.000141mm, Δd=0.2mm → 相对误差0.0705%
δN = 0.5, N=632 → 相对误差0.0791%
总相对误差 = sqrt(0.0705² + 0.0791²) ≈ 0.106%
δλ = 632.8nm * 0.106% ≈ 0.67nm，与之前计算一致。

5. 编程辅助数据处理

5.1 Python代码示例：数据处理与不确定度计算

以下Python代码可用于自动计算波长、平均值、不确定度，并绘制误差棒图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 实验数据：每次测量的Δd (mm) 和 N
# 示例数据：Δd=0.2mm, N值列表
delta_d_mm = np.array([0.2000, 0.2000, 0.2000, 0.2000, 0.2000])  # 单位mm
N_list = np.array([631, 632, 633, 632, 632])

# 转换为nm：1 mm = 1e6 nm
delta_d_nm = delta_d_mm * 1e6

# 计算每次测量的波长 (nm)
lambda_i = 2 * delta_d_nm / N_list

# 计算平均波长
lambda_mean = np.mean(lambda_i)

# 计算A类不确定度
n = len(lambda_i)
std_dev = np.std(lambda_i, ddof=1)  # 样本标准偏差
u_A = std_dev / np.sqrt(n)

# B类不确定度：仪器误差
# 位置读数误差：假设δd = 0.0001 mm = 100 nm
delta_d_error = 0.0001 * 1e6  # nm
# Δd的误差：由于d0和d1各有一个误差，合成误差为√2 * δd
delta_d_total_error = np.sqrt(2) * delta_d_error
# 传递到波长：u_B_pos = (2/N) * delta_d_total_error
u_B_pos = (2 / np.mean(N_list)) * delta_d_total_error

# 条纹计数误差：假设δN = 0.5
delta_N = 0.5
u_B_N = (2 * np.mean(delta_d_nm) / (np.mean(N_list)**2)) * delta_N

# 合成B类不确定度
u_B = np.sqrt(u_B_pos**2 + u_B_N**2)

# 合成标准不确定度
u_c = np.sqrt(u_A**2 + u_B**2)

# 扩展不确定度 (k=2, 95%置信水平)
U = 2 * u_c

# 输出结果
print(f"平均波长: {lambda_mean:.2f} nm")
print(f"A类不确定度: {u_A:.2f} nm")
print(f"B类不确定度: {u_B:.2f} nm")
print(f"合成标准不确定度: {u_c:.2f} nm")
print(f"扩展不确定度 (k=2): {U:.2f} nm")
print(f"最终结果: λ = ({lambda_mean:.2f} ± {U:.2f}) nm (k=2, P=95%)")

# 绘制误差棒图
measurements = np.arange(1, n+1)
plt.errorbar(measurements, lambda_i, yerr=np.full(n, u_c), fmt='o', capsize=5, label='测量值 ± u_c')
plt.axhline(y=lambda_mean, color='r', linestyle='--', label=f'平均值: {lambda_mean:.2f} nm')
plt.xlabel('测量次数')
plt.ylabel('波长 (nm)')
plt.title('迈克尔逊干涉仪波长测量结果')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

代码说明：

输入：delta_d_mm 和 N_list 是实验数据，需替换为实际值。
计算：代码自动计算每次波长、平均值、不确定度。
B类不确定度：详细分解了位置读数和条纹计数误差。
输出：打印清晰的数值结果。
绘图：使用matplotlib绘制误差棒图，直观展示数据分散性和平均值。

5.2 代码运行示例

假设运行上述代码，输出可能如下：

平均波长: 632.90 nm
A类不确定度: 0.32 nm
B类不确定度: 0.67 nm
合成标准不确定度: 0.74 nm
扩展不确定度 (k=2): 1.48 nm
最终结果: λ = (632.90 ± 1.48) nm (k=2, 95%)

6. 常见问题与解答

Q1: 条纹计数时容易出错，有什么技巧？

使用计数器或手机慢动作录像回放计数。
采用“差值法”：例如，先移动0.5mm计数N1，再移动0.1mm计数N2，则0.1mm对应的条纹数为N1 - N2（需调整），这样可以减小计数误差。
计数时眼睛紧贴观察屏，避免环境光干扰。

Q2: 如何判断条纹是否“冒出”或“吞进”？

A: 当动镜向分束镜移动时（光程差减小），条纹会从中心“冒出”；远离时，条纹会向中心“吞进”。计数时以中心亮斑为参考，记录完整周期。

Q3: 实验中发现波长测量值偏差较大，可能原因？

激光波长不准确（如使用650nm红光激光笔代替He-Ne激光）。
补偿板未正确插入光路。
动镜移动方向与读数方向不一致（空程差）。
温度变化大导致导轨膨胀。

Q4: 如何用钠光灯（双线波长）做实验？

7. 总结

参考文献：

迈克尔逊干涉仪实验讲义（各高校物理实验中心）。
《物理实验数据处理与误差分析》，科学出版社。
ISO/IEC Guide 98-3:2008 (GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)。

注意：实际实验中，请根据所用仪器的具体参数（如读数精度、导轨材料）调整误差估计值。