习题一：方程求解
题目：解方程 (2x - 5 = 11)。
解题步骤：
- 将方程两边的常数项移至等式右边：(2x = 11 + 5)。
- 计算右边的常数和：(2x = 16)。
- 将方程两边同时除以系数2：(x = \frac{16}{2})。
- 计算结果：(x = 8)。
答案：(x = 8)。
习题二：几何图形
题目：一个正方形的对角线长度为10厘米，求正方形的面积。
解题步骤：
- 记正方形的边长为(a)，对角线长度为(d)。
- 根据勾股定理，(d = a\sqrt{2})。
- 将对角线长度代入：(10 = a\sqrt{2})。
- 解出边长：(a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2})。
- 计算面积：(面积 = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50)。
答案：面积是50平方厘米。
习题三：比例问题
题目：如果(a : b = 3 : 4)，且(a + b = 20)，求(a)和(b)的值。
解题步骤：
- 根据比例关系，设(a = 3k)，(b = 4k)。
- 将(a)和(b)代入和的等式：(3k + 4k = 20)。
- 解出(k)：(7k = 20)，(k = \frac{20}{7})。
- 计算(a)和(b)的值：(a = 3k = 3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7})，(b = 4k = 4 \times \frac{20}{7} = \frac{80}{7})。
答案：(a = \frac{60}{7})，(b = \frac{80}{7})。
习题四：分数运算
题目：将(\frac{2}{3})和(\frac{5}{6})相加。
解题步骤：
- 找到两个分数的公共分母，这里是6。
- 将(\frac{2}{3})转换为等值的分数：(\frac{2}{3} = \frac{4}{6})。
- 相加两个分数：(\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6})。
- 简化结果：(\frac{9}{6} = \frac{3}{2})。
答案：(\frac{3}{2})。
习题五：几何图形
题目：一个圆的半径增加了20%，求新圆的面积与原圆面积的比值。
解题步骤：
- 假设原圆半径为(r)，则新圆半径为(1.2r)。
- 原圆面积为(\pi r^2)，新圆面积为(\pi (1.2r)^2 = \pi \times 1.44r^2)。
- 计算比值：(\frac{\pi \times 1.44r^2}{\pi r^2} = 1.44)。
答案：新圆面积是原圆面积的1.44倍。
习题六：方程求解
题目：解方程组： [ \begin{cases} x + 2y = 8 \ 3x - y = 4 \end{cases} ]
解题步骤：
- 从第一个方程解出(x)：(x = 8 - 2y)。
- 将(x)的表达式代入第二个方程：(3(8 - 2y) - y = 4)。
- 解出(y)：(24 - 6y - y = 4)，(7y = 20)，(y = \frac{20}{7})。
- 将(y)的值代入(x)的表达式：(x = 8 - 2 \times \frac{20}{7} = \frac{24}{7})。
答案：(x = \frac{24}{7})，(y = \frac{20}{7})。
习题七：概率问题
题目：一个袋子里有5个红球和7个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的概率。
解题步骤：
- 计算总球数：(5 + 7 = 12)。
- 红球的数量为5。
- 计算概率：(\frac{5}{12})。
答案：取出红球的概率是(\frac{5}{12})。
习题八：几何图形
题目：一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是5厘米，求梯形的面积。
解题步骤：
- 梯形面积公式：(面积 = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2})。
- 代入数值：(面积 = \frac{(6 + 12) \times 5}{2} = \frac{18 \times 5}{2} = 45)。
答案：梯形的面积是45平方厘米。
习题九：分数运算
题目：将(\frac{1}{3})和(\frac{2}{5})相减。
解题步骤：
- 找到两个分数的公共分母，这里是15。
- 将(\frac{1}{3})转换为等值的分数：(\frac{1}{3} = \frac{5}{15})。
- 将(\frac{2}{5})转换为等值的分数：(\frac{2}{5} = \frac{6}{15})。
- 相减两个分数：(\frac{5}{15} - \frac{6}{15} = -\frac{1}{15})。
答案：(-\frac{1}{15})。
习题十：应用题
题目：小明骑自行车去图书馆，如果以每小时10公里的速度行驶，需要1小时到达；如果以每小时15公里的速度行驶，需要40分钟到达。求图书馆距离小明的家有多远。
解题步骤：
- 设图书馆距离小明的家为(d)公里。
- 根据速度和时间的关系，第一种情况下的时间(t_1 = \frac{d}{10})小时，第二种情况下的时间(t_2 = \frac{40}{60})小时。
- 根据题目条件，(t_1 = 1)小时，(t_2 = \frac{2}{3})小时。
- 列出方程：(\frac{d}{10} = 1)和(\frac{d}{15} = \frac{2}{3})。
- 解第一个方程得到(d = 10)。
- 验证第二个方程：(\frac{10}{15} = \frac{2}{3})，成立。
答案：图书馆距离小明的家10公里。