引言
高等数学中的极限与连续性是数学分析的基础，也是理解微积分和后续数学课程的关键。在解题过程中，掌握正确的解题思路和方法至关重要。本文将围绕极限与连续性的概念，结合具体习题，解锁解题之道。
一、极限的基本概念
1.1 极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，描述了函数在某一点的取值趋势。若对于任意小的正数ε，总存在一个足够小的正数δ，使得当x在x₀的某个邻域内时，函数f(x)的值与某一确定的常数A的差的绝对值小于ε，则称A是函数f(x)当x趋向于x₀时的极限。
1.2 极限的性质
- 存在性：若极限存在，则唯一。
- 保号性：若极限存在，则对于任意正数ε，存在一个δ，使得当x在x₀的某个邻域内时，f(x) > A - ε。
- 保序性：若极限存在，则极限的符号与函数的符号相同。
二、连续性的基本概念
2.1 连续的定义
函数f(x)在点x₀处连续，是指当x趋向于x₀时，f(x)的极限存在且等于f(x₀)。
2.2 连续的性质
- 四则运算：若f(x)和g(x)在x₀处连续，则f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)（g(x)≠0）在x₀处连续。
- 复合函数：若f(x)和g(x)在x₀处连续，且g(x₀)≠0，则g(x)在f(x₀)处连续。
三、习题解析
3.1 习题一：求极限
题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解题步骤：
- 运用极限的保号性：由于\(\sin x\)在x=0处的导数为1，因此存在一个δ，使得当x在x₀的某个邻域内时，\(\sin x > 0\)。
- 利用三角函数的有界性：由于\(|\sin x| \leq 1\)，因此有\(|\frac{\sin x}{x}| \leq \frac{1}{|x|}\)。
- 运用夹逼定理：由1和2可知，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) = 1。
3.2 习题二：判断连续性
题目：判断函数\(f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ x^3 & x < 0 \end{cases}\)在x=0处的连续性。
解题步骤：
- 求左极限：\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^3 = 0\)。
- 求右极限：\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0\)。
- 求函数值：\(f(0) = 0\)。
- 判断连续性：由于左极限、右极限和函数值相等，因此\(f(x)\)在x=0处连续。
四、总结
通过对极限与连续性的基本概念和性质的了解，结合具体习题的解析，我们可以更好地掌握解题之道。在实际解题过程中，要注意运用相关性质和定理，灵活运用各种方法，提高解题效率。